この章で選ぶ $H$：最小結合と古典の光

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第4部 第12章 §4.12.1　★★★ 原子の Hamiltonian の $\hat{\bm{p}}$ を $\hat{\bm{p}}-q\bm{A}(\hat{\bm{r}},t)$ に替えるだけで光との相互作用が入る。光の場は原子の場より桁違いに弱い

原子や分子に光を当てると、決まった波長の光だけが吸収される。吸収された光の強さから、準位の間の遷移がどれだけ起こりやすいかが分かり、励起した原子は決まった寿命で光を出して下の準位に戻る。分光と呼ばれる測定はすべて、この「光によって量子状態の間で遷移が起こる」ことを使っている。授業では、Hamiltonian に $-\hat{\bm{d}}\cdot\bm{E}$ という項を足し、時間に依存する摂動論で遷移確率を出して、Fermi の黄金律と選択則を習う。

この章では、光と物質の相互作用を新しく持ち込まない。第2部第2章（第2部第2章）で、電磁場の中の荷電粒子は$L=\frac12m\dot{\bm{r}}^2-q\phi+q\dot{\bm{r}}\cdot\bm{A}$ を選んだ系であり、その Hamiltonian が $H=(\bm{p}-q\bm{A})^2/(2m)+q\phi$ になることを示した。光は時間と場所で振動する $\bm{A}(\bm{r},t)$ にすぎないので、この $H$ をそのまま量子化し、$\bm{A}$ について1次の項を小さな摂動として扱えば、遷移確率から選択則まで、すべてが出てくる。道具は第4部第3章（第4部第3章）の相互作用描像で、その古典版は「解ける部分の解に乗った座標で、残りの力による変化だけを追う」定数変化法である。実際、量子の1次の遷移確率と、古典の振動子が外力から吸い取るエネルギーは、同じ関数 $\sin^2(\Delta t/2)/(\Delta/2)^2$ で書ける。

4.12.1節で選ぶ Hamiltonian と、光の場の大きさを確かめる。4.12.2節で相互作用描像の1次の摂動を当て、4.12.3節から4.12.5節が「出てくるもの」で、Fermi の黄金律、双極子近似と選択則、吸収・誘導放出・自然放出の係数を順に出す。4.12.6節では、授業の $-\hat{\bm{d}}\cdot\bm{E}$ の形がこの章の $\hat{\bm{p}}\cdot\bm{A}$ の形とゲージの取り替え（正準変換）で結ばれることと、振動子強度の総和則が古典の Poisson 括弧から出ることを示す。

選ぶ Hamiltonian

電荷 $q$、質量 $m$ の粒子（電子なら $q=-e$）が、ポテンシャル $V(\bm{r})$ で原子核に束縛されているとする。光を当てていないときの Hamiltonian を

$$\hat H_0=\frac{\hat{\bm{p}}^2}{2m}+V(\hat{\bm{r}}),\qquad \hat H_0| n \rangle =E_n| n \rangle\tag{4.12.1}$$

とし、その固有状態 $| n \rangle$ と固有値 $E_n$ は分かっているものとする。ここに光の場を入れる。第2部第2章の Hamiltonian $H=(\bm{p}-q\bm{A})^2/(2m)+q\phi$ で、原子核の作る静電場は $V(\bm{r})$ にすでに入っているので、光の場だけを $\bm{A}(\bm{r},t)$ と $\phi$ で表す。光の場には、電荷の無い所で

$$\phi=0,\qquad \nabla\cdot\bm{A}=0,\qquad \bm{E}=-\frac{\partial \bm{A}}{\partial t},\qquad \bm{B}=\nabla\times\bm{A}\tag{4.12.2}$$

となるゲージ（Coulomb ゲージ）を選べる。第2部第8章（第2部第8章）で述べたゲージの自由度のうち、光の場で $\phi$ を消すものを1つ選んだことになる。この章で選ぶ Hamiltonian は

$$\hat H(t)=\frac{\bigl(\hat{\bm{p}}-q\bm{A}(\hat{\bm{r}},t)\bigr)^2}{2m}+V(\hat{\bm{r}})\tag{4.12.3}$$

である。光は量子化せず、決まった関数 $\bm{A}(\bm{r},t)$ として与える。物質だけを量子力学で扱い、光を古典の場のまま扱うこの立場を半古典論と呼ぶ。

摂動の項を取り出す

式 (4.12.3) の2乗を展開するとき、$\hat{\bm{p}}$ と $\bm{A}(\hat{\bm{r}},t)$ は交換するとは限らないので、並べ方に注意が要る。位置表示で任意の波動関数 $\psi$ に当てると $\hat{\bm{p}}\cdot(\bm{A}\psi)=-\mathrm{i}\hbar\nabla\cdot(\bm{A}\psi)=-\mathrm{i}\hbar(\nabla\cdot\bm{A})\psi+\bm{A}\cdot(-\mathrm{i}\hbar\nabla\psi)$ だから

$$\hat{\bm{p}}\cdot\bm{A}-\bm{A}\cdot\hat{\bm{p}}=-\mathrm{i}\hbar\,\nabla\cdot\bm{A}\tag{4.12.4}$$

であり、Coulomb ゲージでは右辺が $0$ になる。第4部第1章（第4部第1章）で述べた積の並べ方の問題は、このゲージでは起きない。したがって

$$\hat H(t)=\hat H_0+\hat H_1(t)+\hat H_2(t),\qquad \hat H_1(t)=-\frac{q}{m}\bm{A}(\hat{\bm{r}},t)\cdot\hat{\bm{p}},\qquad \hat H_2(t)=\frac{q^2}{2m}\lvert \bm{A}(\hat{\bm{r}},t)\rvert ^2\tag{4.12.5}$$

と分かれる。$\hat H_1$ は場について1次、$\hat H_2$ は2次である。古典の言葉では、$\hat H_1$ は $-q\dot{\bm{r}}\cdot\bm{A}$ の $\dot{\bm{r}}$ を $\bm{p}/m$ で置き換えたもので、第2部第2章の一般化ポテンシャル $U=q\phi-q\dot{\bm{r}}\cdot\bm{A}$ のうち速度に比例する部分にあたる。

光としては、角振動数 $\omega$、波数ベクトル $\bm{k}$（$\lvert \bm{k}\rvert =\omega/c$）、偏光の単位ベクトル $\bm{e}$（$\bm{e}\cdot\bm{k}=0$）の平面波

$$\bm{A}(\bm{r},t)=\operatorname{Re}\bigl[A_0\bm{e}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\bm{k}\cdot\bm{r}-\omega t)}\bigr],\qquad \bm{E}(\bm{r},t)=\operatorname{Re}\bigl[E_0\bm{e}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\bm{k}\cdot\bm{r}-\omega t)}\bigr],\qquad E_0=\mathrm{i}\omega A_0\tag{4.12.6}$$

を考える。$E_0=\mathrm{i}\omega A_0$ は $\bm{E}=-\partial_t\bm{A}$ から出る。$\bm{e}\cdot\bm{k}=0$ だから $\nabla\cdot\bm{A}=0$ が成り立つ。

光の場はどれだけ弱いか

$\hat H_1$ を摂動として扱ってよいかは、光の場の大きさで決まる。比べる相手は、原子の中で電子が感じる電場の目安

$$E_{\mathrm{at}}=\frac{e}{4\pi\varepsilon_0a_0^2}=5.14\times10^{11}\,\mathrm{V\,m^{-1}}\tag{4.12.7}$$

である（$a_0$ は Bohr 半径）。光の強度（単位面積を単位時間に通るエネルギー）は、時間平均した Poynting ベクトルの大きさ $I=\frac12c\varepsilon_0\lvert E_0\rvert ^2$ で、これから $\lvert E_0\rvert =\sqrt{2I/(c\varepsilon_0)}$ が決まる。

この例題から分かるとおり、ふつうの光では $\hat H_1$ は $\hat H_0$ に比べてきわめて小さく、$\hat H_2$ はそれよりさらに小さい。この章では $\hat H_1$ を1次まで扱い、$\hat H_2$ は落とす（$\hat H_2$ は光子2個がかかわる過程、たとえば散乱で初めて必要になる）。

光を古典の場として扱うことにも、近似が含まれている。光を量子化すると、光のモードの状態は光子の数で指定され、光子の数が十分大きければ場の揺らぎは振幅に比べて小さくなる。半古典論は、この極限で光の場を期待値で置き換えたものである。ただし半古典論では、光子が1個も無い状態から原子が光を出す自然放出が出てこない。4.12.5節では、Einstein の熱平衡の議論で自然放出の確率を間接に決める。