授業で習った形との対応

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第4部 第12章 §4.12.6　★★ 授業の $-\hat{\bm{d}}\cdot\bm{E}$ は、この章の $-\frac qm\bm{A}\cdot\hat{\bm{p}}$ とゲージの取り替え＝正準変換で結ばれる。振動子強度の総和則は古典の $\{x,\{H,x\}\}=-1/m$ の量子版

長さのゲージと速度のゲージ

授業では、光と原子の相互作用を最初から

$$\hat H'(t)=\hat H_0-\hat{\bm{d}}\cdot\bm{E}(\bm{0},t)=\frac{\hat{\bm{p}}^2}{2m}+V(\hat{\bm{r}})-q\hat{\bm{r}}\cdot\bm{E}(\bm{0},t)\tag{4.12.30}$$

と書くことが多い。原子が一様な電場の中に置かれたときの静電エネルギー $-\bm{d}\cdot\bm{E}$ を、そのまま時間に依存する場に使った形である。この章の式 (4.12.3) とは見かけが違い、しかも 4.12.4節の式 (4.12.22) の行列要素は、共鳴から外れると $\omega_{fi}/\omega$ だけ違う。2つは同じ物理を表しているのか。

答えは、2つの Hamiltonian がゲージの取り替えで結ばれる、というものである。双極子近似で $\bm{A}(\bm{r},t)\approx\bm{A}(\bm{0},t)$ とし、ゲージ関数を

$$\Lambda(\bm{r},t)=-\bm{r}\cdot\bm{A}(\bm{0},t)\tag{4.12.31}$$

に選ぶ（Göppert-Mayer のゲージ変換）。第2部第2章のゲージ変換 $\bm{A}\to\bm{A}+\nabla\Lambda$, $\phi\to\phi-\partial_t\Lambda$ で、$\bm{A}'=\bm{A}(\bm{0},t)-\bm{A}(\bm{0},t)=\bm{0}$、$\phi'=0+\bm{r}\cdot\partial_t\bm{A}(\bm{0},t)=-\bm{r}\cdot\bm{E}(\bm{0},t)$ になる。ベクトルポテンシャルが消え、電場はスカラーポテンシャル $\phi'$ だけで表される。新しいゲージの Hamiltonian は $(\bm{p}-q\bm{A}')^2/(2m)+V+q\phi'$ で、式 (4.12.30) そのものである。

第2部第2章では、ゲージ変換が母関数 $F_2=\bm{r}\cdot\bm{P}-q\Lambda$ の正準変換で、正準運動量が $\bm{p}'=\bm{p}+q\nabla\Lambda$、Hamiltonian が $H'=H-q\partial_t\Lambda$ に変わり、量子力学では波動関数が $\psi'=\mathrm{e}^{\mathrm{i} q\Lambda/\hbar}\psi$ と位相を変えることを示した。式 (4.12.31) では $\bm{p}'=\bm{p}-q\bm{A}(\bm{0},t)=m\dot{\bm{r}}$ で、新しいゲージの正準運動量は運動学的運動量に一致する。2つの Hamiltonian は同じ運動を、異なる正準変数で書いたものである。

行列要素が共鳴から外れて違うのは、2つのゲージで「$\hat H_0$ の固有状態」が指す物理的な状態が、場のある間は違うからである。$\hat H_0$ の固有状態は、正準運動量 $\bm{p}$ を使って定義されているが、$\bm{p}$ の意味がゲージで違う（$m\dot{\bm{r}}+q\bm{A}$ と $m\dot{\bm{r}}$）。場が消えた後（$\bm{A}=\bm{0}$）は2つのゲージが一致するので、測る量（遷移の後の状態の確率）は一致し、黄金律のように共鳴だけが残る極限では、行列要素そのものも一致する。

授業の黄金律と振動子強度

授業では Fermi の黄金律を $w=\frac{2\pi}{\hbar}\lvert V_{fi}\rvert ^2\rho(E_f)$ と書くことが多い。式 (4.12.18) の $\hat H_\omega$ が $V$ にあたる。$\hat H_1(t)=\hat V\cos\omega t$ と書く流儀では $\hat H_\omega=\hat V/2$ で、係数に $\frac14$ が付くので、流儀を読み比べるときは振動の項の分け方を確かめる。

分光では、遷移の強さを振動子強度

$$f_{ni}=\frac{2m\omega_{ni}}{\hbar}\lvert \langle n | \hat x | i \rangle \rvert ^2\tag{4.12.32}$$

で表すことが多い。これは次の総和則を満たす。

証明

$\left[\hat x,\,\left[\hat H_0,\,\hat x\right]\right]$ を2通りに計算する。$\left[\hat H_0,\,\hat x\right]=-\mathrm{i}\hbar\hat p_x/m$ だから $\left[\hat x,\,\left[\hat H_0,\,\hat x\right]\right]=-\frac{\mathrm{i}\hbar}{m}\left[\hat x,\,\hat p_x\right]=\frac{\hbar^2}{m}$。一方、$| i \rangle$ で期待値をとり、完全系 $\sum_n| n \rangle \langle n |$ を挟むと$\langle i | \left[\hat x,\,\left[\hat H_0,\,\hat x\right]\right] | i \rangle =\sum_n2(E_n-E_i)\lvert \langle n | \hat x | i \rangle \rvert ^2$。両者を等しいとおいて $\hbar^2/m$ で割れば $\sum_nf_{ni}=1$。

この証明で使ったのは $\left[\hat x,\,\left[\hat H_0,\,\hat x\right]\right]=\hbar^2/m$ だけで、これは古典の Poisson 括弧 $\{x,\{H_0,x\}\}=\{x,-p_x/m\}=-1/m$ に $(\mathrm{i}\hbar)^2$ を掛けたものである。括弧の中の式が $p_x$ の1次式で、第4部第1章で述べた量子化の補正が入らないので、古典の値がそのまま量子の値になる。

古典の電子を平衡点に角振動数 $\omega_0$ のばねでつないだ模型（Lorentz の振動子）では、光に対する応答は1個の振動子のものになる。量子の原子は、遷移ごとに角振動数 $\omega_{ni}$ の振動子を$f_{ni}$ 個ずつ持ち、全部合わせてちょうど1個分になっている、と読める（屈折率への応用は光学と量子エレクトロニクス 第11章。光学と量子エレクトロニクス 第11章）。自然放出の確率も $A_{i\to n}=\lvert f_{ni}\rvert \gamma_{\mathrm{cl}}$（$\gamma_{\mathrm{cl}}=q^2\omega_{ni}^2/(6\pi\varepsilon_0mc^3)$。$x$ 方向に偏った1次元の双極子の場合）と、古典の放射減衰率を振動子強度で割り振った形に書ける。