この章で取り出すもの：平面波と振動子の集まり

光学と量子エレクトロニクス　第11章 §11.1　★★★ 平面波1つと、振動子強度で重みをつけた Lorentz 振動子の集まり。薄い気体では原子1個の分極率を足すだけで感受率が決まる

第10章（第10章）では、物質中の Maxwell 方程式を分極 $\bm{P}$ で書き、線形で等方的な媒質の性質が比誘電率 $\varepsilon_{\mathrm r}(\omega)=1+\chi(\omega)$ と複素屈折率 $\tilde n=\sqrt{\varepsilon_{\mathrm r}}=n+\mathrm{i}\kappa$ にまとまることを示した。そこでは $\chi(\omega)$ を与えられた関数として扱った。この章では、$\chi(\omega)$ そのものを物質のモデルから計算する。

この章で取り出すモードは、無限に広い一様な媒質の中を進む単色の平面波である。物質のモデルは、単位体積あたり $N$ 個の原子のそれぞれを Lorentz 振動子（第1章の式で、第1章）とみなすもので、1つの原子が複数の共鳴を持つときは振動子強度で重みをつけて足す。結合は電子が感じる電場との相互作用 $-e\bm{E}$ だが、ここで1つ問題が起こる。原子が密に並んだ固体や液体では、1つの原子が感じる電場は、巨視的な平均の電場 $\bm{E}$ に、周りの原子の双極子が作る場を加えたものになる。これを局所場と呼ぶ。

11.1節で、局所場を無視できる薄い気体について $\chi(\omega)$ を書き下す。11.2節で Lorentz の球を使って局所場を求め、Clausius–Mossotti の関係を導く。11.3節と11.4節が「出てくるもの」で、共鳴の近くの正常分散と異常分散、局所場による共鳴のずれと全反射の帯（残留線の帯）、位相速度と群速度、2つの振動子を結合させた遅い光を順に導く。11.5節で置いた近似と実験で確かめる量を述べ、11.6節で学部の光学で習う Cauchy の式・Sellmeier の式と並べ、11.7節でまとめる。

モード・物質・結合の3つの選び方

場のモードとして、角周波数 $\omega$ の平面波 $\bm{E}(z,t)=\operatorname{Re}[\bm{E}_0\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\tilde n\omega z/c-\omega t)}]$ を1つだけ取り出す。波長は原子の間隔よりはるかに長いとし、原子の間隔より大きく波長より小さい範囲で平均した巨視的な場を $\bm{E}$ と書く。第10章で示したとおり、この平面波の強度は $\mathrm{e}^{-\alpha_{\mathrm{abs}}z}$ で減り、吸収係数は $\alpha_{\mathrm{abs}}=2\omega\kappa/c$ である。

物質のモデルは、第1章の Lorentz 振動子

$$m\Bigl(\frac{\mathrm{d}^2\bm{x}}{\mathrm{d} t^2}+\gamma\frac{\mathrm{d}\bm{x}}{\mathrm{d} t}+\omega_0^2\bm{x}\Bigr)=-e\bm{E}_{\mathrm{loc}}(t)\tag{11.1}$$

である。右辺の $\bm{E}_{\mathrm{loc}}$ は電子の位置にある電場で、局所場と呼ぶ。原子1個の双極子 $\bm{d}=-e\bm{x}$ の複素振幅は $\alpha(\omega)\bm{E}_{\mathrm{loc}}$ になり、分極率は第1章の式と同じ $\alpha(\omega)=(e^2/m)/(\omega_0^2-\omega^2-\mathrm{i}\gamma\omega)$ である。

原子の遷移は1つではない。第1章で見たとおり、量子力学の2準位系は弱い光に対して「電子 $f$ 個分の Lorentz 振動子」として応答する（$f$ は振動子強度）。原子の基底状態から出る遷移 $j$ の角周波数を $\omega_j$、振動子強度を $f_j$、線幅を $\gamma_j$ とすると、原子1個の分極率は遷移ごとの寄与の和

$$\alpha(\omega)=\frac{e^2}{m}\sum_j\frac{f_j}{\omega_j^2-\omega^2-\mathrm{i}\gamma_j\omega}\tag{11.2}$$

で書ける。減衰を落とした形は、2次の摂動論で計算した量子力学の分極率と一致する（第1章の例題で、遷移が1つの場合を確かめた）。$\gamma_j$ は現象論的に入れた減衰で、その量子論の起源は第24章（第24章）と第34章（第34章）で扱う。

薄い気体の感受率

原子の間隔が大きい気体では、周りの原子の双極子が作る場は巨視的な場に比べて小さく、$\bm{E}_{\mathrm{loc}}\approx\bm{E}$ とおける（どれだけ小さいかは 11.2節で確かめる）。このとき分極は $\bm{P}=N\alpha(\omega)\bm{E}$ で、$\bm{P}=\varepsilon_0\chi\bm{E}$ と比べて

$$\chi(\omega)=\frac{N\alpha(\omega)}{\varepsilon_0}=\omega_{\mathrm p}^2\sum_j\frac{f_j}{\omega_j^2-\omega^2-\mathrm{i}\gamma_j\omega},\qquad\omega_{\mathrm p}^2=\frac{Ne^2}{\varepsilon_0m}\tag{11.3}$$

を得る。$\omega_{\mathrm p}$ は単位体積あたり $N$ 個の自由電子の気体のプラズマ角周波数と同じ式で、第13章（第13章）で金属の光学応答を決める量として再び現れる。$\lvert \chi\rvert \ll1$ なら $\tilde n=\sqrt{1+\chi}\approx1+\chi/2$ なので、

$$n-1\approx\frac12\operatorname{Re}\chi,\qquad\kappa\approx\frac12\operatorname{Im}\chi\tag{11.4}$$

である。屈折率の $1$ からのずれと吸収は、それぞれ感受率の実部と虚部の半分になる。時間の因子を $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}$ に取ったので、$\operatorname{Im}\chi>0$ が吸収、$\operatorname{Im}\chi<0$ が増幅に対応する。

式 (11.3) は、光の周波数がどの遷移からも十分離れていれば $\gamma_j$ を落として実数になり、媒質は透明になる。可視光に対して透明なガラスや空気は、共鳴が紫外と赤外にあって可視域がその間の谷にある物質である。その谷で屈折率がどう変わるかは 11.3節と11.6節で見る。