この章で取り出すもの：平面波と束縛の無い電子

光学と量子エレクトロニクス　第13章 §13.1　★★★ モードは平面波1つ、物質は衝突で減衰する自由電子の気体、結合は電場の力。運動方程式1本から誘電関数 $\varepsilon_{\mathrm r}=\varepsilon_{\mathrm b}-\omega_{\mathrm p}^2/(\omega(\omega+\mathrm{i}\gamma))$ が出る

第11章（第11章）では、物質の電子を原子に束縛された振動子とみなし、共鳴の角周波数 $\omega_0$ のまわりの分散と吸収を Lorentz 振動子の誘電関数で書いた。金属の伝導電子は原子に束縛されていない。束縛の無い電子は、ばねの無い振動子、つまり Lorentz 振動子で $\omega_0\to0$ とした極限で表すことができる。この章は、その1つの式（Drude の誘電関数）から金属の光学応答のおもな性質がどこまで出るかを確かめる。

出てくるものは3つある。第一に、周波数を上げていくと金属の応答は3つの帯に分かれる。電子の衝突が頻繁に起きる低い周波数では、反射率が直流の伝導度だけで決まる（Hagen–Rubens の関係）。衝突の頻度より高くプラズマ周波数 $\omega_{\mathrm p}$ より低い帯では、反射率は周波数によらず $1$ に近く、光は表皮の深さ $c/\omega_{\mathrm p}$ の層にしか入らない。$\omega_{\mathrm p}$ を超えると金属は透明になる。第二に、誘電関数が $0$ になる周波数 $\omega_{\mathrm p}$ では、電子の気体全体が縦に振動する。アルカリ金属が紫外で透明になることと、電離層が短波を反射することは、同じ式から出る。第三に、金と銀と銅の色は自由電子だけでは説明できず、満ちた d バンドからのバンド間遷移を足して初めて出る。銀ではその遷移が紫外で始まるので可視光をほぼ一様に反射し、金と銅では可視の青の側で始まるので青を反射しにくい。バンド間遷移を結晶のバンドから数える話は、ハミルトニアンの選び方で固体を考える 第4部第6章に送る。この章では、その遷移を誘電関数の虚部の1つの段として模型に入れ、実部は第12章の Kramers–Kronig の関係で作る。

モード・物質・結合の選び方

この巻の各章は、どの場のモードを取り出し、物質をどうモデル化し、どう結合させ、何を近似したかで読む（第1章の表）。この章の選び方は次のとおりである。

場のモードは、角周波数 $\omega$ の平面波1つである。物理量は §1 の流儀どおり $\bm{E}(\bm{r},t)=\operatorname{Re}[\bm{E}_0\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\bm{k}\cdot\bm{r}-\omega t)}]$ と書き、複素振幅だけで計算する。波長は金属の原子間隔や電子の平均自由行程より十分長いとし、電子が感じる電場は空間的に一様とみなす（この仮定は 13.6 節で見直す）。

物質のモデルは、数密度 $n_{\mathrm e}$ の伝導電子の気体である。電子は原子に束縛されず、時間 $\tau$ に1回の割合で格子の振動や不純物と衝突して運動量を失う。衝突の割合を $\gamma=1/\tau$ と書く。伝導電子以外の電子（内殻と、満ちたバンドの電子）の応答は、まとめて背景の比誘電率 $\varepsilon_{\mathrm b}$ に入れる。屈折率 $n$ と同じ章に出るので、電子の数密度には添字を付けて $n_{\mathrm e}$ と書く。ハミルトニアンの選び方で固体を考える 第4部第2章は屈折率の出ない章なので、数密度を $n$、衝突の割合を $1/\tau$ のまま書き、プラズマ振動数を $\omega_{\mathrm p}^2=ne^2/(\varepsilon_0m^*)$ と有効質量で書く。この章の $n_{\mathrm e}$・$\gamma$・$m$ がそれぞれに当たる。

結合は、電場が電子に及ぼす力 $-e\bm{E}$ である。磁場の力 $-e\bm{v}\times\bm{B}$ は、電子の速さ $v$ が光速 $c$ より十分小さいので、電場の力の $v/c$ 倍として捨てる。

運動方程式から誘電関数へ

電子1個の平均の速度 $\bm{v}$ は、衝突による減衰を摩擦の項で表した運動方程式

$$m\frac{\mathrm{d} \bm{v}}{\mathrm{d} t}=-e\bm{E}-\frac{m}{\tau}\bm{v}\tag{13.1}$$

に従う。この方程式は P. Drude が 1900 年に金属の電気伝導の模型として書いたものである¹1P. Drude (1900), Annalen der Physik 306, 566.下の脚注へ閉じる。(13.1) は、衝突の直後に電子の速度の向きがでたらめになると考え、その平均を摩擦に置き換えた式である。導出の正当化は 解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部第8章と ハミルトニアンの選び方で固体を考える 第4部第2章の Boltzmann 方程式で行った。時間依存を $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}$ と置くと $\mathrm{d}/\mathrm{d} t\to-\mathrm{i}\omega$ なので、

$$\bm{v}=-\frac{e\tau}{m}\frac{\bm{E}}{1-\mathrm{i}\omega\tau},\qquad \bm{J}=-n_{\mathrm e}e\bm{v}=\sigma(\omega)\bm{E},\qquad \sigma(\omega)=\frac{\sigma_0}{1-\mathrm{i}\omega\tau},\quad \sigma_0=\frac{n_{\mathrm e}e^2\tau}{m}$$

を得る。$\sigma_0$ は直流の伝導度である。

伝導電子の電流と背景の分極の両方を1つの誘電関数にまとめる。Maxwell 方程式 $\nabla\times\bm{H}=\bm{J}+\partial\bm{D}_{\mathrm b}/\partial t$ で $\bm{D}_{\mathrm b}=\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm b}\bm{E}$ とすると、右辺は $(\sigma-\mathrm{i}\omega\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm b})\bm{E}$ になる。これを $-\mathrm{i}\omega\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm r}\bm{E}$ と書くと

$$\varepsilon_{\mathrm r}(\omega)=\varepsilon_{\mathrm b}+\frac{\mathrm{i}\sigma(\omega)}{\varepsilon_0\omega}\tag{13.2}$$

である。伝導電流と分極電流は、交流では区別のつかない同じ電流で、どちらに数えるかは書き方の約束にすぎない。(13.2) はその約束の換算式である。$\sigma(\omega)$ を代入すると、Drude の誘電関数

$$\varepsilon_{\mathrm r}(\omega)=\varepsilon_{\mathrm b}-\frac{\omega_{\mathrm p}^2}{\omega(\omega+\mathrm{i}\gamma)},\qquad \omega_{\mathrm p}^2=\frac{n_{\mathrm e}e^2}{\varepsilon_0m}\tag{13.3}$$

が出る。$\omega_{\mathrm p}$ をプラズマ周波数と呼ぶ。実部と虚部を $\varepsilon_{\mathrm r}=\varepsilon_1+\mathrm{i}\varepsilon_2$ と書くと

$$\varepsilon_1(\omega)=\varepsilon_{\mathrm b}-\frac{\omega_{\mathrm p}^2}{\omega^2+\gamma^2},\qquad \varepsilon_2(\omega)=\frac{\gamma\,\omega_{\mathrm p}^2}{\omega(\omega^2+\gamma^2)}\tag{13.4}$$

である。この章では添字が数字の $\varepsilon_1,\varepsilon_2$ を比誘電率の実部と虚部に限って使う。第10章（式 (10.17)）と同じ使い方である。

$\varepsilon_1$ は $\omega<\sqrt{\omega_{\mathrm p}^2/\varepsilon_{\mathrm b}-\gamma^2}$ で負になる。負の誘電率は、電子が慣性のために電場と逆の位相で動き、電場を打ち消す向きの分極を作ることを表す。バネの無い振動子を共鳴より上の周波数で揺すると、変位は力と逆位相になる。金属では共鳴の周波数が $0$ なので、$\gamma$ より上のすべての周波数でこの逆位相の応答が起きる。

Lorentz 振動子との関係

第11章の Lorentz 振動子は、(13.1) の右辺に復元力 $-m\omega_0^2\bm{x}$ を足したものだった。同じ数密度の電子がすべて共鳴 $\omega_0$ の振動子なら

$$\varepsilon_{\mathrm r}(\omega)=\varepsilon_{\mathrm b}+\frac{\omega_{\mathrm p}^2}{\omega_0^2-\omega^2-\mathrm{i}\gamma\omega}\tag{13.5}$$

で、$\omega_0\to0$ とすると (13.3) に一致する。ここでの $\omega_{\mathrm p}$ は電子の数密度だけで決まる量で、金属でも絶縁体でも同じ形で定義される。

2つの式の差は低い周波数に集まる。静電場（$\omega=0$）に対する Lorentz 振動子の比誘電率は、有限の値 $\varepsilon_{\mathrm b}+\omega_{\mathrm p}^2/\omega_0^2$ である。電子はばねの伸びの分だけずれて止まる。Drude の式は $\omega\to0$ で $\mathrm{i}\sigma_0/(\varepsilon_0\omega)$ のように発散する。電子は止まらずに流れ続け、そのときの電流と電場の比が直流の伝導度である。逆に $\omega\gg\omega_0$ では、復元力は慣性の力 $m\omega^2x$ に比べて小さくなり、束縛された電子も自由な電子と同じに応答する。絶縁体の紫外での応答と金属の応答が、共鳴より高い周波数で同じ形になるのはこのためである。

1　P. Drude (1900), Annalen der Physik 306, 566.