光をモードに分ける：1つのモードは1つの調和振動子

光学と量子エレクトロニクス　第1章 §1.1　★★★ 境界のある空間の電磁場はとびとびのモードに分かれ、各モードのエネルギーは調和振動子のエネルギーと同じ形になる

光学の授業は、光線の屈折と結像から始まり、回折と干渉、物質中の屈折率と吸収へ進む。量子エレクトロニクスの授業は、光子のエネルギー $\hbar\omega$ と Einstein の係数から始まり、反転分布とレーザー発振、原子の冷却と原子時計へ進む。2つの授業は扱う装置も使う式も違うように見えるが、どちらも同じ3つの部品を組み合わせて書かれている。1つ目は電磁場で、境界のある空間ではとびとびのモードに分かれ、モード1つ1つは調和振動子として振る舞う。2つ目は物質で、光に応答する部分を古典の振動子（Lorentz 振動子）か、量子の2準位系に縮めてモデル化する。3つ目は両者の結合で、多くの場合は電気双極子と電場の相互作用 $-\hat{\bm{d}}\cdot\bm{E}$ である。この巻は、光学と量子エレクトロニクスの話題を、この3つの部品の選び方と、そのとき置いた近似で読み直す。

この章は巻全体の見方を示す。1.1節で電磁場をモードに分け、1つのモードが1つの調和振動子であることを示す。1.2節で物質の2つのモデル（Lorentz 振動子と2準位系）を並べ、両者が弱い光に対して同じ応答を与えることを確かめる。1.3節で結合の形と、巻を通して使う2つの近似（双極子近似と回転波近似）を述べる。1.4節では、光子1個のエネルギー $\hbar\omega$ を熱のエネルギー $k_{\mathrm B} T$ と比べ、可視光は室温で量子的に振る舞い、マイクロ波は $50\,\mathrm{mK}$ の桁まで冷やさないと量子的に振る舞わない理由を述べる。1.5節で巻の章の型と6つの部の地図、巻を通して戻ってくる3本の筋を示し、1.6節で授業で習った形との対応を並べ、1.7節でまとめる。導出の本体は後の章で行うので、この章では結果を先に借りる所がある。借りた所には、どの章で示すかを書き添える。

2枚の鏡の間の電磁場

最も簡単な例として、$z=0$ と $z=L$ に置いた2枚の完全導体の鏡の間で、$x$ 方向に偏った電場 $E_x(z,t)$ と $y$ 方向の磁場 $B_y(z,t)$ だけを考える。真空の Maxwell 方程式から $E_x$ は波動方程式 $\partial_z^2E_x-c^{-2}\partial_t^2E_x=0$ に従い、完全導体の表面で電場の接線成分は $0$ なので $E_x(0,t)=E_x(L,t)=0$ である。この境界条件を満たす関数は $\sin(k_\ell z)$（$k_\ell=\ell\pi/L$、$\ell=1,2,\dots$）で、これらは $[0,L]$ で完全系をなす。そこで電場を

$$E_x(z,t)=\sum_{\ell=1}^{\infty}A_\ell(t)\sin(k_\ell z)\tag{1.1}$$

と展開して波動方程式に入れると、係数ごとに

$$\frac{\mathrm{d}^2A_\ell}{\mathrm{d} t^2}=-\omega_\ell^2A_\ell,\qquad\omega_\ell=ck_\ell=\frac{\ell\pi c}{L}\tag{1.2}$$

に分かれる。係数 $A_\ell(t)$ どうしは互いに結びつかず、それぞれが角周波数 $\omega_\ell$ で単振動する。この1つ1つをモードと呼ぶ。隣り合うモードの周波数の間隔は $\Delta\nu=c/(2L)$ で、これを自由スペクトル領域（FSR）と呼ぶ。光共振器の縦モードとして第5章で詳しく扱う（第5章）。

モードのエネルギーは調和振動子のエネルギー

モードが調和振動子であることを、エネルギーで確かめる。磁場は Faraday の法則 $\partial_tB_y=-\partial_zE_x$ から決まる。鏡の面積を $S$、体積を $V=SL$ として、電磁場のエネルギー $\frac{\varepsilon_0}{2}\int(E_x^2+c^2B_y^2)\,\mathrm{d}^3r$ を計算すると、$\sin(k_\ell z)$ と $\cos(k_\ell z)$ がそれぞれ直交するので、異なるモードの交差項は消えて

$$U=\sum_{\ell}\frac{\varepsilon_0V}{4}\Bigl[A_\ell^2+\Bigl(\frac{1}{\omega_\ell}\frac{\mathrm{d} A_\ell}{\mathrm{d} t}\Bigr)^2\Bigr]\tag{1.3}$$

になる。ここで新しい変数 $q_\ell,p_\ell$ を $A_\ell=\sqrt{2/(\varepsilon_0V)}\,p_\ell$、$\mathrm{d} p_\ell/\mathrm{d} t=-\omega_\ell^2q_\ell$ で定めると、$\mathrm{d} q_\ell/\mathrm{d} t=p_\ell$ が成り立ち、

$$H=\sum_\ell\frac12\bigl(p_\ell^2+\omega_\ell^2q_\ell^2\bigr)\tag{1.4}$$

となる。これは質量 $1$、角周波数 $\omega_\ell$ の調和振動子を独立に並べた Hamiltonian そのものである。電場は運動量 $p_\ell$ に、磁場は座標 $q_\ell$ に比例する。真空の電磁場が厳密に線形なので、この分解は近似を含まない。

調和振動子を量子化すると、エネルギーは $\hbar\omega_\ell(n_\ell+\frac12)$（$n_\ell=0,1,2,\dots$）のとびとびの値を取る。段の数 $n_\ell$ をそのモードにいる光子の数と読む。この読み替えと量子化した場の演算子は 解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第5部第2章 と解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第5部第3章 で導いてあり、この巻では第30章で結果を引いて使う（第30章）。この章では、光子1個のエネルギーが $\hbar\omega$ であることと、熱平衡でモード1つに入っている光子の平均の数が Bose 分布になること（1.4節）の2つだけを使う。

3次元の箱のモードの数

1辺 $L$ の立方体の箱では、波数 $\bm{k}$ がとびとびの値を取り、1つの $\bm{k}$ に偏光の向きが2つある。周期境界条件で数えると $\bm{k}$ は $(2\pi/L)^3$ の体積に1個ずつ並ぶので、角周波数が $\omega=c\lvert \bm{k}\rvert$ 以下のモードの数は $2\times\frac{4\pi}{3}(\omega/c)^3/(2\pi/L)^3=V\omega^3/(3\pi^2c^3)$ である。これを $\omega$ で微分して、単位角周波数あたりのモードの数

$$g(\omega)=\frac{V\omega^2}{\pi^2c^3}\tag{1.5}$$

を得る（壁が完全導体でも、$L$ が波長より十分大きければ同じ式になる）。モードの数は周波数の2乗で増える。可視光の周波数では、小さな箱にも膨大な数のモードがあり（例題 1.1）、レーザーはその中のごく少数のモードに光子を集めた状態である。逆に箱が波長より小さいと、式 (1.5) は成り立たず、その周波数のモードは1つも無いことがある。