この巻の章の型と地図：巻を通す3本の筋

光学と量子エレクトロニクス　第1章 §1.5　★★★ 各章は「取り出すモード → 物質のモデル → 結合 → 出てくるもの → 何を近似したか → 何の実験の量で確かめるか」の順に書かれる

章の型

この巻の第2章以降は、同じ順で書く。まずその章で取り出す場のモード（光線・ガウスビーム・平面波の重ね合わせ・共振器の縦モード・量子化したモード）と、物質のモデル（屈折率・Lorentz 振動子・2準位系）と、両者の結合を書く。図 1.3 がこの3つの部品の関係である。次にどの道具（Fourier 変換・線形応答・摂動・レート方程式・量子化）を当てるかを述べ、出てくる量を導く。そのあとに2つの節を置く。1つは何を近似したかの節で、置いた近似を書き出し、末尾に近似の裏付けの札を置く。もう1つは何の実験の量で確かめるかの節で、出てきた量のうち実験で測れるものを挙げ、測り方と、モデルが合わなくなる条件を述べる。最後に授業で習った形との対応と、その章のまとめを置く。

図 1.3　この巻の章の読み方。場のモードと物質のモデルを選び、両者を結合させ、置いた近似を書き出す。

6つの部の地図

表 1.1 は、6つの部で取り出すモードと物質のモデル、結合と近似、確かめる実験の量を1行ずつ並べたものである。

表を上から読むと、場の扱いは光線（波長 $\to0$）から波、波から光子へと細かくなり、物質の扱いは屈折率という1つの数から振動子、2準位系へと細かくなる。光線の力学（Fermat の原理・光線の Hamilton 形式）は解析力学がそのまま当たる所なので、解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部第10章 に置き、この巻の第2章はそこへのつなぎにする（第2章）。

巻を通して戻ってくる3本の筋

部をまたいで同じ式が戻ってくる所が3つある。1つ目は分極率 $\alpha(\omega)$ で、第3部では屈折率を決め（希薄な気体で $n\approx1+N\operatorname{Re}\alpha/(2\varepsilon_0)$、$N$ は原子の数密度）、第5部では原子を集光した光に引き寄せる双極子力のポテンシャル

$$U_{\mathrm{dip}}=-\frac14\operatorname{Re}\alpha(\omega_{\mathrm L})\lvert E_0\rvert ^2\tag{1.16}$$

を決める（誘起された双極子と電場の相互作用で、誘起であることから $\frac12$、時間平均から $\frac12$ が付く）。屈折率と光の力は、同じ Lorentz 振動子の式の2つの顔である（第11章・第25章）。2つ目は第4部のモード同期レーザーで、位相をそろえた縦モードの櫛 $\nu_\ell=\ell\,\nu_{\mathrm{rep}}+\nu_{\mathrm{ceo}}$ がそのまま光周波数コムになり、第5部の原子時計で光の周波数を数える道具になる（第23章・第28章）。3つ目は偏光の Poincaré 球と2準位原子の Bloch 球で、どちらも2成分の複素ベクトル（Jones ベクトルと状態ベクトル）を Pauli 行列で3次元の単位ベクトルへ写したものなので、同じ球になる（第15章・第19章）。

近似の裏付けの札の読み方

近似を置いた節の末尾には、近似ごとに1行の札を置く。札は第V巻（近似の数理）の近似の分類（近似の数理 第1章）を使い、4つの欄を持つ。1つ目の欄は近似の型で、扱いやすい部分空間の中で解を探す A 型（射影）、小さいパラメータを $0$ に送った極限の問題の解を使う B 型（極限）、未知の量を既知の量の関数で置き換えて方程式を閉じる C 型（閉じる）の3つがある。2つ目の欄はその近似の小さいパラメータか部分空間、3つ目の欄は数学の側で近似がどこまで正当化されているか（証明済み・条件付き・未解決・C 型で内部の評価なし・要確認）、4つ目の欄は証明の筋を置いた第V巻の章である。光の物理では近似の名前がそのまま分野の名前（幾何光学・近軸光学・回転波近似・レート方程式）になっているので、札は B 型が多い。この章では 1.3節に3枚置いた。終章（第35章）で巻全体の札を1枚の表に集める。