授業で習った形との対応

光学と量子エレクトロニクス　第1章 §1.6　★★ 授業の光学が出発点に置く屈折率と、量子エレクトロニクスが出発点に置く Planck の式と Einstein 係数が、モードと2準位系からどう出てくるか

光学の授業：屈折率を与えて波動方程式を解く

学部の光学の授業は、多くの場合、物質中の波動方程式

$$\nabla^2\bm{E}-\frac{n^2}{c^2}\frac{\partial^2\bm{E}}{\partial t^2}=0\tag{1.17}$$

を出発点に置き、屈折率 $n$ を物質ごとに与えられた数として扱う。この巻では、$n$ を物質のモデルの出力と読む。$n^2=\varepsilon_{\mathrm r}=1+\chi$ の感受率 $\chi$ は、単位体積あたり $N$ 個の振動子の分極率から $\chi=N\alpha/\varepsilon_0$ で決まる（希薄な気体の場合。密な媒質の局所場の補正は 第11章）。さらに $\lambda\to0$ の極限で式 (1.17) から光線の方程式（アイコナール方程式）が出るので、第1部の幾何光学は「モードを光線に縮めた」近似として読める。

量子エレクトロニクスの授業：Planck の式と Einstein 係数

量子エレクトロニクスの授業は、光子のエネルギー $E=h\nu$、黒体放射の Planck の式、Einstein の $A$・$B$ 係数から始めることが多い。この巻では、Planck の式を1.1節のモードの数と1.4節の光子数の積と読む。単位体積・単位角周波数あたりのエネルギー密度は

$$u(\omega)=\frac{g(\omega)}{V}\,\hbar\omega\,\bar n_{\mathrm{ph}}(\omega,T)=\frac{\hbar\omega^3}{\pi^2c^3}\,\frac{1}{\mathrm{e}^{\hbar\omega/( k_{\mathrm B} T)}-1}\tag{1.18}$$

で、モードの数の $\omega^2$、光子1個のエネルギーの $\omega$、熱の光子数の3つの因子の積になっている。Einstein の係数は、角周波数あたりのエネルギー密度 $u(\omega)$ を基準にして（この本の流儀。$u(\nu)$ 基準の教科書とは $B$ が $2\pi$ 違う）

$$A_{21}=\frac{\hbar\omega^3}{\pi^2c^3}B_{21}\tag{1.19}$$

の関係を持つ（縮退の無い場合。導出は第20章。第20章・解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第12章）。式 (1.18) と並べると、誘導放出の速さ $B_{21}u(\omega)$ と自然放出の速さ $A_{21}$ の比は、ちょうどそのモードの光子数 $\bar n_{\mathrm{ph}}$ になる。自然放出は「光子が $0$ 個のモードへの誘導放出」で、熱の光子が $\bar n_{\mathrm{ph}}$ 個いるとそれが $\bar n_{\mathrm{ph}}$ 倍に増える、と読める。この読み方を量子化したモードで確かめるのは第34章である（第34章）。

対応をまとめると次のようになる。