この章で取り出すもの：真空のモード・2準位・結合 $\hbar g$

光学と量子エレクトロニクス　第34章 §34.1　★★★ 量子化したモードに2準位をつなぐと、回転波近似の後の結合は $\hbar g(\hat a\sigma_++\hat a^\dagger\sigma_-)$ になり、光子を1個足す行列要素が $\sqrt{n+1}$ になる。自然放出は光子0個のモードへの誘導放出として読める

第4部と第5部では、自然放出の速さ $\Gamma$ を結果だけ借りて使ってきた。光 Bloch 方程式の縦緩和（第19章）、Einstein の $A_{21}$（第20章）、自然幅（第24章）、散乱力（第25章）は、どれも $\Gamma=\omega_0^3d_{eg}^2/(3\pi\varepsilon_0\hbar c^3)$ という式を出発点にしていた。この式は、場を古典の振幅として扱う限り導けない。古典の場の無い所に置いた励起状態の原子は、半古典の理論ではいつまでも励起状態にとどまる。第30章で場を量子化し、1つのモードが1つの調和振動子で、光子が0個の状態にも場の揺らぎが残ることを示した（第30章）。この章では、その真空のモードに2準位の原子をつなぎ、自然放出を Schrödinger 方程式の解として導く。

章の型（第1章）に当てはめると、取り出す場のモードは2通りある。1つは自由空間のすべてのモード（連続体）で、もう1つは共振器の中の1つのモードである。物質のモデルは2準位の原子で、結合は双極子近似と回転波近似のもとで $\hbar g(\hat a\sigma_++\hat a^\dagger\sigma_-)$ の形になる。34.1節で、この結合を量子化した場から作り、放出の行列要素が光子数 $n$ に対して $\sqrt{n+1}$ に比例することを示す。34.2節で、原子を連続体につなぎ、Wigner–Weisskopf の方法で指数関数の減衰と自然幅を出す。34.3節で、連続体の代わりに損失のある共振器のモードを置くと、自然放出の速さが共振器の $Q$ 値とモードの体積で決まる値に変わること（Purcell 効果）を示す。34.4節で、共振器の損失が小さい極限に進み、Jaynes–Cummings 模型の着衣状態、真空 Rabi 分裂、Rabi 振動の崩壊と復活を出す。34.5節で近似と実験を、34.6節で黄金律と古典の双極子放射との対応を述べ、34.7節でまとめる。

モード・物質・結合

第30章では、体積 $V$ の箱の中の電場を

$$\hat{\bm{E}}(\bm{r})=\mathrm{i}\sum_{\bm{k},s}\sqrt{\frac{\hbar\omega_k}{2\varepsilon_0V}}\,\bm{e}_{\bm{k}s}\bigl(\hat a_{\bm{k}s}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{r}}-\hat a_{\bm{k}s}^\dagger\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{r}}\bigr)\tag{34.1}$$

と量子化した（Schrödinger 描像で書いた。記法の正本 §9 の形で $t=0$ と置いたもの）。各モード $(\bm{k},s)$ の Hamiltonian は $\hbar\omega_k(\hat a_{\bm{k}s}^\dagger\hat a_{\bm{k}s}+\frac12)$ である。根号の中の量の箱の体積 $V$ を一般のモードの体積 $V_{\mathrm m}$ に置き換えた（箱の平面波のモードでは $V_{\mathrm m}=V$）

$$E_{\mathrm{ph}}=\sqrt{\frac{\hbar\omega}{2\varepsilon_0V_{\mathrm m}}}\tag{34.2}$$

は、モードが光子0個の状態にあるときの電場の揺らぎの大きさを表す。実際、定在波の1つのモード $\hat{\bm{E}}=E_{\mathrm{ph}}f(\bm{r})\bm{e}(\hat a+\hat a^\dagger)$（$f$ はモードの形で最大値 $1$、$\int\lvert f\rvert ^2\mathrm{d}^3r=V_{\mathrm m}$。$E_{\mathrm{ph}}$ と $V_{\mathrm m}$ は第30章の光子1個の電場とモードの体積（式 (30.9)）で、$f$ の最大値を $1$ にとると $V_{\mathrm m}$ はこの積分になる）では$\langle 0 |\hat{\bm{E}}^2| 0 \rangle =E_{\mathrm{ph}}^2f^2$ で、電場のエネルギー $\frac{\varepsilon_0}{2}\int\langle 0 |\hat{\bm{E}}^2| 0 \rangle \mathrm{d}^3r=\hbar\omega/4$ は真空のエネルギー $\hbar\omega/2$ の半分（残りの半分は磁場）になる。$V_{\mathrm m}$ を小さくすると $E_{\mathrm{ph}}$ が大きくなる。この点が共振器 QED のすべての出発点である。

物質のモデルは、第18章と同じ2準位の原子 $\hat H_{\mathrm A}=\frac{\hbar\omega_0}{2}\sigma_z$、$\sigma_+=| e \rangle \langle g |$、$\sigma_-=| g \rangle \langle e |$ で、双極子の演算子は $\hat{\bm{d}}=\bm{d}_{eg}\sigma_++\bm{d}_{eg}^*\sigma_-$ である（第18章）。結合は双極子近似の $\hat H_{\mathrm{int}}=-\hat{\bm{d}}\cdot\hat{\bm{E}}(\bm{r}_0)$ で、原子の位置 $\bm{r}_0$ の場だけを見る。これを展開すると $\sigma_+\hat a$、$\sigma_-\hat a^\dagger$、$\sigma_+\hat a^\dagger$、$\sigma_-\hat a$ の4種類の項が出る。相互作用描像で前の2つは $\mathrm{e}^{\pm\mathrm{i}(\omega_0-\omega_k)t}$ でゆっくり回り、後の2つは $\mathrm{e}^{\pm\mathrm{i}(\omega_0+\omega_k)t}$ で速く回る。第18章と同じ回転波近似で後の2つを捨てると

$$\hat H_{\mathrm{int}}=\hbar\sum_{\bm{k},s}\bigl(g_{\bm{k}s}\,\sigma_+\hat a_{\bm{k}s}+g_{\bm{k}s}^*\,\hat a_{\bm{k}s}^\dagger\sigma_-\bigr),\qquad \hbar g_{\bm{k}s}=-\mathrm{i}\sqrt{\frac{\hbar\omega_k}{2\varepsilon_0V}}\,(\bm{d}_{eg}\cdot\bm{e}_{\bm{k}s})\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{r}_0}\tag{34.3}$$

を得る。$g_{\bm{k}s}$ は角周波数の次元を持ち、結合定数と呼ぶ。$\sigma_+\hat a$ は「光子を1個消して原子を上げる」吸収、$\hat a^\dagger\sigma_-$ は「原子を下げて光子を1個作る」放出である。回転波近似の後の Hamiltonian では、原子の励起の数と光子の数の和 $\hat N_{\mathrm{exc}}=\sigma_+\sigma_-+\sum\hat a^\dagger_{\bm{k}s}\hat a_{\bm{k}s}$ が保存する。

共振器の中の1つのモードだけを取り出すときは、和を1項にして、定在波のモードの形 $f(\bm{r})$ を使う。原子が腹（$f=1$）にいて、双極子がモードの偏光にそろっていれば

$$g=\frac{\lvert \bm{d}_{eg}\rvert E_{\mathrm{ph}}}{\hbar}=\lvert \bm{d}_{eg}\rvert \sqrt{\frac{\omega_{\mathrm c}}{2\varepsilon_0\hbar V_{\mathrm m}}}\tag{34.4}$$

になる（位相は状態の取り方で $g>0$ にそろえる）。モードの腹に原子を置いたときのこの $g$ は、第30章の $g_0$（式 (30.18)）と同じである。$\omega_{\mathrm c}$ は共振器のモードの角周波数である。この1モードの Hamiltonian

$$\hat H_{\mathrm{JC}}=\hbar\omega_{\mathrm c}\hat a^\dagger\hat a+\frac{\hbar\omega_0}{2}\sigma_z+\hbar g\bigl(\hat a\sigma_++\hat a^\dagger\sigma_-\bigr)\tag{34.5}$$

を Jaynes–Cummings 模型と呼ぶ¹1E. T. Jaynes and F. W. Cummings (1963), Proceedings of the IEEE 51, 89–109.下の脚注へ閉じる。34.4節で解く。

放出は $n+1$、吸収は $n$

モード $(\bm{k},s)$ に光子が $n$ 個いて原子が $| e \rangle$ にある状態から、放出で光子が $n+1$ 個になる行列要素は

$$\langle g,n+1 | \hat H_{\mathrm{int}} | e,n \rangle =\hbar g^*_{\bm{k}s}\sqrt{n+1},\qquad \langle e,n-1 | \hat H_{\mathrm{int}} | g,n \rangle =\hbar g_{\bm{k}s}\sqrt{n}\tag{34.6}$$

である。$\hat a^\dagger| n \rangle =\sqrt{n+1}| n+1 \rangle$ の $+1$ のために、光子が1個もいないモードへも放出が起きる。遷移の速さは行列要素の2乗に比例するので、放出の速さは $n+1$ に、吸収の速さは $n$ に比例する。$n$ に比例する部分が誘導放出、$1$ の部分が自然放出である。第20章で熱平衡から出した $B_{21}u/A_{21}=\bar n_{\mathrm{ph}}$（第20章）は、この $n+1$ を熱の光子数で平均した結果にほかならない。自然放出は「光子が0個のモードへの誘導放出」で、その相手は真空の揺らぎ $E_{\mathrm{ph}}$ である。

古典の場との対応も式 (34.6) から読める。光子数が大きいコヒーレント状態 $| \alpha \rangle$（第31章）では、定在波の電場の振幅は $E_0=2E_{\mathrm{ph}}\lvert \alpha\rvert$ で、第18章の Rabi 周波数は $\Omega=\lvert \bm{d}_{eg}\rvert E_0/\hbar=2g\sqrt{\bar n}$ になる。量子化したモードの $| e,n \rangle$ と $| g,n+1 \rangle$ の間の振動の角周波数は $2g\sqrt{n+1}$ で（34.4節）、$n$ が大きいと古典の値に一致する。古典の場の Rabi 周波数 $\Omega$ は、光子の演算子 $2g\hat a$ の期待値に置き換わったものである。

1　E. T. Jaynes and F. W. Cummings (1963), Proceedings of the IEEE 51, 89–109.