この章で取り出すもの：横波のモードと場の演算子

光学と量子エレクトロニクス　第30章 §30.1　★★★ Coulomb ゲージの $\hat{\bm{A}}$ をモードで展開すると、各モードの複素振幅が $\hat a$ になる。光子1個の電場は $E_{\mathrm{ph}}=\sqrt{\hbar\omega/(2\varepsilon_0V_{\mathrm m})}$ で、モードの体積 $V_{\mathrm m}$ だけで決まる

第4部と第5部では、光の場を古典の関数 $\bm{E}(\bm{r},t)=\operatorname{Re}[\bm{E}_0\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\bm{k}\cdot\bm{r}-\omega t)}]$ として扱い、原子だけを量子力学で扱ってきた（半古典の扱い）。レーザー光のモードには非常に多くの光子が入っているので、この扱いで Rabi 振動・光 Bloch 方程式・光の力・レーザー冷却まで説明することができた。一方で、半古典の扱いでは説明できない量が3つ残った。自然放出の速さ $A_{21}$ は第20章で熱平衡の条件から間接的に決めただけで、真空の中で原子がなぜ光を出すのかは説明していない。レーザーの線幅（第22章）は、自然放出の光が発振のモードに混ざることで初めて有限になる。光子を1個ずつ数える実験の結果（第32・33章）は、古典の場の強度の揺らぎでは表すことができない。第6部では、場そのものを量子化してこの3つを扱う。

場の量子化の一般論は、解析力学から様々な理論分野を組み立てるの2つの章で済ませてある。第5部第2章（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第5部第2章）は Klein–Gordon 場を例に、場の Poisson 括弧を交換子に置き換え、場が独立な振動子に分かれることを示した。第5部第3章（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第5部第3章）は、空洞の電磁場の1つのモードが質量 $\varepsilon_0V/2$ の振動子であること、零点の電場の大きさ、Planck の分布と Casimir 力を出した。この章ではそれらの結果を引いて、量子光学で使う形（SI・箱の体積 $V$ の規格化・演算子の帽子つき）に書き直し、この巻の型「取り出すモード・物質のモデル・結合」に当てはめる。

30.1節で取り出すモードを決め、電場と磁場の演算子を書き、光子1個の電場 $E_{\mathrm{ph}}$ を定義する。30.2節では1つのモードを振動子として読む道具（直交位相成分と相空間の図）を用意し、光子数の決まった状態の場には位相が無いことを示す。30.3節は真空の揺らぎで、1つのモードあたり光子半個分のエネルギーと、それが原子の準位をずらす大きさ（Lamb のずれの見積もり）を出す。30.4節で2準位原子と量子化した場を結合させ、吸収の行列要素が $\sqrt n$、放出が $\sqrt{n+1}$ になること、その $+1$ が自然放出であることを示す。30.5節で近似と実験の量を、30.6節で授業の形との対応を述べ、30.7節でまとめる。この章は SI で書き、演算子には帽子を付ける。

Coulomb ゲージと横波のモード

電荷の無い領域の電磁場は、Coulomb ゲージ $\nabla\cdot\bm{A}=0$ と $\phi=0$ を選ぶと、ベクトルポテンシャル $\bm{A}$ だけで $\bm{E}=-\partial_t\bm{A}$、$\bm{B}=\nabla\times\bm{A}$ と書ける。$\bm{A}$ は波動方程式 $\partial_t^2\bm{A}=c^2\nabla^2\bm{A}$ に従う。原子のように電荷がある場合も、Coulomb ゲージでは電荷どうしの Coulomb 力が原子の Hamiltonian $\hat H_{\mathrm A}$ の中に残り、量子化するのは $\nabla\cdot\bm{A}=0$ を満たす横波の部分だけになる（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第12章 で使ったゲージと同じ）。

1辺 $L_{\mathrm b}$ の立方体（体積 $V=L_{\mathrm b}^3$）に周期境界条件を置くと、許される波数は $\bm{k}=(2\pi/L_{\mathrm b})(n_x,n_y,n_z)$（$n_x,n_y,n_z$ は整数）で、横波の条件 $\bm{k}\cdot\bm{e}_{\bm{k}s}=0$ を満たす偏光の単位ベクトル $\bm{e}_{\bm{k}s}$ が $s=1,2$ の2つある。古典の $\bm{A}$ をこのモードで展開して

$$\bm{A}(\bm{r},t)=\sum_{\bm{k},s}\bm{e}_{\bm{k}s}\bigl(\mathcal A_{\bm{k}s}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\bm{k}\cdot\bm{r}-\omega_kt)}+\mathrm{c.c.}\bigr),\qquad\omega_k=c\lvert \bm{k}\rvert\tag{30.1}$$

と書く（$\bm{e}_{\bm{k}s}$ は実数のベクトルに選ぶ）。ここで $\mathcal A_{\bm{k}s}$ は時間に依らない複素数である。箱の中の場のエネルギーは、異なるモードの交差項が体積の積分で消えるので

$$U=\int_V\Bigl(\frac{\varepsilon_0}{2}\bm{E}^2+\frac{1}{2\mu_0}\bm{B}^2\Bigr)\mathrm{d}^3r=\sum_{\bm{k},s}2\varepsilon_0V\omega_k^2\lvert \mathcal A_{\bm{k}s}\rvert ^2\tag{30.2}$$

になる。$\bm{k}$ と $-\bm{k}$ のモードの積は $\mathrm{e}^{\mp2\mathrm{i}\omega_kt}$ で振動する項を作るが、電場の分と磁場の分で符号が逆になって打ち消し合う（$\omega_k=c\lvert \bm{k}\rvert$ と横波の条件 $\bm{k}\cdot\bm{e}_{\bm{k}s}=0$ を使う）。

複素振幅を演算子に置き換える

式 (30.2) は、各モードが角振動数 $\omega_k$ の調和振動子で、そのエネルギーが複素振幅の絶対値の2乗に比例することを表す。第4部第4章（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第4章）では、振動子の複素振幅を $H=\omega\lvert z\rvert ^2$ となるように規格化し、正準量子化で $\hat a=\hat z/\sqrt\hbar$、$\left[\hat a,\,\hat a^\dagger\right]=1$ とした。同じ規格化を選ぶには $\mathcal A_{\bm{k}s}=\sqrt{\hbar/(2\varepsilon_0\omega_kV)}\,\alpha_{\bm{k}s}$ とおけばよく、$U=\sum\hbar\omega_k\lvert \alpha_{\bm{k}s}\rvert ^2$ になる。$\alpha_{\bm{k}s}$ を演算子 $\hat a_{\bm{k}s}$ に置き換えると

$$\begin{align*}\hat{\bm{A}}(\bm{r},t)&=\sum_{\bm{k},s}\sqrt{\frac{\hbar}{2\varepsilon_0\omega_kV}}\,\bm{e}_{\bm{k}s}\bigl(\hat a_{\bm{k}s}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\bm{k}\cdot\bm{r}-\omega_kt)}+\mathrm{h.c.}\bigr),\tag{30.3}\\\hat{\bm{E}}(\bm{r},t)&=\mathrm{i}\sum_{\bm{k},s}\sqrt{\frac{\hbar\omega_k}{2\varepsilon_0V}}\,\bm{e}_{\bm{k}s}\bigl(\hat a_{\bm{k}s}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\bm{k}\cdot\bm{r}-\omega_kt)}-\mathrm{h.c.}\bigr),\tag{30.4}\\\hat{\bm{B}}(\bm{r},t)&=\mathrm{i}\sum_{\bm{k},s}\sqrt{\frac{\hbar}{2\varepsilon_0\omega_kV}}\,(\bm{k}\times\bm{e}_{\bm{k}s})\bigl(\hat a_{\bm{k}s}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\bm{k}\cdot\bm{r}-\omega_kt)}-\mathrm{h.c.}\bigr)\tag{30.5}\end{align*}$$

を得る。$\left[\hat a_{\bm{k}s},\,\hat a_{\bm{k}'s'}^\dagger\right]=\delta_{\bm{k}\bm{k}'}\delta_{ss'}$ で、異なるモードの演算子は交換する。$\hat{\bm{E}}$ は $\hat{\bm{A}}$ を時間で微分して $-1$ を掛けたもので、記法の正本の式と同じ形である。ここに書いた時間の依存 $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_kt}$ は、Heisenberg 描像の $\hat a_{\bm{k}s}(t)=\hat a_{\bm{k}s}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_kt}$ である。

場のエネルギーと運動量は

$$\hat H_{\mathrm F}=\sum_{\bm{k},s}\hbar\omega_k\Bigl(\hat a_{\bm{k}s}^\dagger\hat a_{\bm{k}s}+\frac12\Bigr),\qquad \hat{\bm{P}}_{\mathrm F}=\varepsilon_0\int_V\hat{\bm{E}}\times\hat{\bm{B}}\,\mathrm{d}^3r=\sum_{\bm{k},s}\hbar\bm{k}\,\hat a_{\bm{k}s}^\dagger\hat a_{\bm{k}s}\tag{30.6}$$

になる。$\frac12$ は、古典の $\lvert \alpha\rvert ^2=\alpha^*\alpha$ を演算子にするとき $\frac12(\hat a^\dagger\hat a+\hat a\hat a^\dagger)$ と対称に並べたことから出る零点のエネルギーである。運動量では $\bm{k}$ と $-\bm{k}$ の零点の分が打ち消し合う。$\hat a_{\bm{k}s}^\dagger$ を1回当てると、エネルギーが $\hbar\omega_k$、運動量が $\hbar\bm{k}$ だけ増える。この1段を光子と呼ぶ（読み替えの全体は 解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第5部第3章）。

同じ時刻の場の交換関係は、$\hat{\bm{A}}$ の正準運動量 $-\varepsilon_0\hat{\bm{E}}$ との間で

$$\left[\hat A_i(\bm{r}),\,-\varepsilon_0\hat E_j(\bm{r}')\right]=\mathrm{i}\hbar\,\delta^{\perp}_{ij}(\bm{r}-\bm{r}'),\qquad \delta^{\perp}_{ij}(\bm{r})=\int\frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^3}\Bigl(\delta_{ij}-\frac{k_ik_j}{k^2}\Bigr)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{r}}\tag{30.7}$$

である（$V\to\infty$ の形）。偏光の和が $\sum_s(\bm{e}_{\bm{k}s})_i(\bm{e}_{\bm{k}s})_j=\delta_{ij}-k_ik_j/k^2$ で $\bm{k}$ に平行な成分を含まないので、右辺は普通の $\delta_{ij}\delta^{(3)}(\bm{r}-\bm{r}')$ でなく横波のデルタ関数 $\delta^\perp_{ij}$ になる。Klein–Gordon 場の $\left[\hat\phi(\bm{x}),\,\hat\pi(\bm{y})\right]=\mathrm{i}\hbar\delta^{(3)}(\bm{x}-\bm{y})$ と比べると、ゲージを固定して縦波を除いたことが、この射影 $\delta_{ij}-k_ik_j/k^2$ として残っている。

一般のモードと光子1個の電場

周期境界の平面波は計算に便利だが、共振器の中の場は定在波で、横方向にも Gauss 型に絞られている（第4・5章）。境界のある一般の空洞では、Helmholtz 方程式 $\nabla^2\bm{u}_\ell+(\omega_\ell/c)^2\bm{u}_\ell=0$、$\nabla\cdot\bm{u}_\ell=0$ を壁の境界条件のもとで解いたモード関数 $\bm{u}_\ell(\bm{r})$ を$\int_V\bm{u}_\ell^*\cdot\bm{u}_{\ell'}\,\mathrm{d}^3r=\delta_{\ell\ell'}$ と規格化し、

$$\hat{\bm{E}}(\bm{r},t)=\mathrm{i}\sum_\ell\sqrt{\frac{\hbar\omega_\ell}{2\varepsilon_0}}\bigl(\bm{u}_\ell(\bm{r})\hat a_\ell\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_\ell t}-\bm{u}_\ell^*(\bm{r})\hat a_\ell^\dagger\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_\ell t}\bigr)\tag{30.8}$$

と書く。周期境界の平面波は $\bm{u}=\bm{e}_{\bm{k}s}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{r}}/\sqrt V$ の場合で、式 (30.4) に戻る。

1つのモードの場の大きさを決めるのは $\lvert \bm{u}_\ell(\bm{r})\rvert$ である。その最大値を使ってモードの体積を $V_{\mathrm m}=1/\max_{\bm{r}}\lvert \bm{u}_\ell(\bm{r})\rvert ^2$ と定義し、

$$E_{\mathrm{ph}}=\sqrt{\frac{\hbar\omega}{2\varepsilon_0V_{\mathrm m}}}\tag{30.9}$$

を光子1個の電場と呼ぶ。平面波では $V_{\mathrm m}=V$、両端を壁で挟んだ定在波 $\sqrt{2/V}\sin kx$ では腹で $\lvert u\rvert ^2=2/V$ なので $V_{\mathrm m}=V/2$ である。$E_{\mathrm{ph}}$ は、そのモードの光子の数が1つ変わるときの電場の行列要素の大きさで、$\langle n-1 | \hat E | n \rangle$ の絶対値が $E_{\mathrm{ph}}\sqrt n$ になる（モードの腹の位置で）。モードを小さな体積に閉じ込めるほど、光子1個の電場は大きくなる。第34章の共振器 QED は、この $E_{\mathrm{ph}}$ を原子の線幅より大きな結合にする技術である。