この章のまとめ

要点

• 場の演算子：$\hat{\bm{E}}=\mathrm{i}\sum\sqrt{\hbar\omega_k/(2\varepsilon_0V)}\,\bm{e}_{\bm{k}s}(\hat a_{\bm{k}s}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\bm{k}\cdot\bm{r}-\omega_kt)}-\mathrm{h.c.})$、$\hat H_{\mathrm F}=\sum\hbar\omega(\hat a^\dagger\hat a+\frac12)$（式 (30.4)・(30.6)）。
• 光子1個の電場 $E_{\mathrm{ph}}=\sqrt{\hbar\omega/(2\varepsilon_0V_{\mathrm m})}$、$V_{\mathrm m}=1/\max\lvert \bm{u}\rvert ^2$（式 (30.9)）。
• 直交位相成分 $\left[\hat X_1,\,\hat X_2\right]=\mathrm{i}/2$、$\Delta X_1\Delta X_2\ge\frac14$。光子数の状態は $\langle \hat E \rangle =0$、$\langle \hat E^2 \rangle =E_{\mathrm{ph}}^2(2n+1)$ で位相を持たない（式 (30.12)・(30.14)）。
• 真空の揺らぎ $S_E(\omega)=\hbar\omega^3/(2\pi^2\varepsilon_0c^3)$、エネルギー密度は $\frac{\hbar\omega^3}{\pi^2c^3}(n_{\mathrm B}+\frac12)$。検出器は正規順序 $\langle \hat E^{(-)}\hat E^{(+)} \rangle$ に応じ、真空を数えない（式 (30.15)・(30.16)）。
• 結合 $\hbar g_0(\sigma_+\hat a+\sigma_-\hat a^\dagger)$、$g_0=dE_{\mathrm{ph}}/\hbar$。吸収 $\sqrt n$、放出 $\sqrt{n+1}$、Rabi $\Omega_n=2g_0\sqrt{n+1}$。$+1$ が自然放出（式 (30.18)・(30.19)・(30.20)）。

総合問題　マイクロ波の共振器の中の1個の原子と熱の光子 ★★★

オリジナル超伝導の鏡で作った Gauss 型の定在波のモード（角周波数 $\omega/2\pi=51.1\,\mathrm{GHz}$、鏡の間隔 $L=2.70\,\mathrm{cm}$、ビームの半径 $w_0=6.00\,\mathrm{mm}$）を温度 $T=0.800\,\mathrm K$ に冷やす。このモードと共鳴する2準位原子（双極子の行列要素の大きさ $d=1250\,ea_0$、与えられた値として使う）を励起状態 $| e \rangle$ に準備し、モードの腹に置く。

1. (1) モードの体積 $V_{\mathrm m}$ と、腹での光子1個の電場 $E_{\mathrm{ph}}$ を求めよ。（使う道具：30.1節の式 (30.9)・例題 30.1・第4章 のガウスビーム）
2. (2) このモードの熱の光子数の平均 $n_{\mathrm B}$ を求め、腹での電場の2乗平均の平方根が、真空の値の何倍かを答えよ。（使う道具：30.2節の式 (30.14)・第1章・解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第5部第3章）
3. (3) 結合定数 $g_0/2\pi$ と、光子数 $n=0,1,2$ のときの Rabi 周波数 $\Omega_n/2\pi$ を求めよ。（使う道具：30.4節の式 (30.18)・(30.20)・第18章）
4. (4) モードの光子数が熱平衡の幾何分布にあるとき、時刻 $t=\pi/(2g_0)$（真空だけなら原子が完全に下へ落ちる時刻）での原子の励起の確率 $P_e$ を求めよ。その値のうち $n=1$ の項の寄与はいくらか。（使う道具：30.4節・例題 30.4）
5. (5) この共振器の縦モードの FSR を求め、$g_0/2\pi$ との比から、1つのモードに絞る近似が使えることを確かめよ。（使う道具：30.5節・第5章）