当てる道具：1つのモードを1つの振動子として読む

光学と量子エレクトロニクス　第30章 §30.2　★★★ 1つのモードの電場は2つの直交位相成分 $\hat X_1$, $\hat X_2$ で書け、$\left[\hat X_1,\,\hat X_2\right]=\mathrm{i}/2$ から不確定性が出る。光子数の決まった状態は電場の期待値が $0$ で、位相を持たない

直交位相成分

1つのモードだけを取り出す。偏光を $\bm{e}$ に固定し、位置 $\bm{r}$ での電場の $\bm{e}$ 成分を $\hat E$ と書くと、式 (30.4) の1項は $\hat E=\mathrm{i} E_{\mathrm{ph}}(\hat a\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varphi}-\hat a^\dagger\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi})$、$\varphi=\omega t-\bm{k}\cdot\bm{r}$ である（平面波なので $V_{\mathrm m}=V$）。$\hat a$ を実部と虚部に分けて

$$\hat X_1=\frac{\hat a+\hat a^\dagger}{2},\qquad\hat X_2=\frac{\hat a-\hat a^\dagger}{2\mathrm{i}},\qquad\left[\hat X_1,\,\hat X_2\right]=\frac{\mathrm{i}}2\tag{30.10}$$

とおくと、$\hat a=\hat X_1+\mathrm{i}\hat X_2$ で、電場は

$$\hat E=2E_{\mathrm{ph}}\bigl(\hat X_1\sin\varphi-\hat X_2\cos\varphi\bigr)\tag{30.11}$$

と書ける。$\hat X_1$ と $\hat X_2$ を直交位相成分と呼ぶ。古典の場 $E_0\sin(\varphi-\theta)$ の $\sin\varphi$ と $\cos\varphi$ の係数にあたり、振動子の言葉では位置と運動量（を無次元にしたもの）である。1つのモードのエネルギーは $\hbar\omega(\hat X_1^2+\hat X_2^2)$ になる（$\hat X_1^2+\hat X_2^2=\hat a^\dagger\hat a+\frac12$）。

交換関係 (30.10) から、Robertson の不等式で

$$\Delta X_1\,\Delta X_2\ge\frac14\tag{30.12}$$

が出る。電場の2つの位相の成分は同時に決めることができない。$\hat X_1$ の固有値を $x$ とする表示では、$\hat X_2=-(\mathrm{i}/2)\,\mathrm{d}/\mathrm{d} x$ で、$\hat a=x+(1/2)\,\mathrm{d}/\mathrm{d} x$ である。基底状態 $\hat a\psi_0=0$ を解くと $\psi_0(x)=(2/\pi)^{1/4}\mathrm{e}^{-x^2}$ で、$\Delta X_1=\Delta X_2=\frac12$ と不等式の等号が成り立つ。$n$ 個の光子の状態の波動関数は

$$\psi_n(x)=\Bigl(\frac2\pi\Bigr)^{1/4}\frac{H_n(\sqrt2\,x)}{\sqrt{2^nn!}}\,\mathrm{e}^{-x^2}\tag{30.13}$$

で（$H_n$ は Hermite 多項式）、調和振動子の固有関数の変数を $\sqrt2x$ に取り直したものである。$\lvert \psi_n(x)\rvert ^2$ は、ホモダイン検出（第31章）で同じモードの強い光と重ねて測る電場の1つの位相の成分の分布になる（図 30.1）。

光子数の決まった状態には位相が無い

光子数の固有状態 $| n \rangle$ では $\langle n | \hat a | n \rangle =0$ なので、どの時刻でも $\langle \hat E \rangle =0$ で、

$$\langle n | \hat E^2 | n \rangle =E_{\mathrm{ph}}^2\langle n | \hat a\hat a^\dagger+\hat a^\dagger\hat a | n \rangle =E_{\mathrm{ph}}^2(2n+1)\tag{30.14}$$

も時刻に依らない。古典の場 $E_0\sin(\varphi-\theta)$ は、振幅 $E_0$ と位相 $\theta$ を決めると各時刻の値が決まるが、$| n \rangle$ は振幅の2乗の平均だけを持ち、位相 $\theta$ についての情報を持たない。直交位相成分の平面の上では、$| n \rangle$ は原点を中心とする半径 $\sqrt{n+\frac12}$ ほどの輪で、古典の場は1点（矢印の先）にあたる（図 30.2）。光子数と位相の間にも不確定性があり、光子数を決めると位相は決まらない。レーザー光は逆に位相がほぼ決まり、光子数が揺らいだ状態で、第31章のコヒーレント状態がそれにあたる。