この章で取り出すモード：鏡の間を往復して自分に戻る場

光学と量子エレクトロニクス　第5章 §5.1　★★★ 鏡の間の往復は、行列式 $1$ の周回行列1つにまとまる。モードは、周回で形を変えずに複素数の因子だけがかかる場の分布として定義する

第1章（第1章）では、平らな2枚の鏡の間の電磁場がとびとびのモードに分かれ、1つ1つのモードが1つの調和振動子になることを見た。そこでは鏡を無限に広い平面とし、場を光軸方向の定在波 $\sin(\ell\pi z/L)$ としてだけ扱った。実際のレーザーの共振器は曲がった鏡を使い、光は鏡の間を細いビームとして往復する。この章では、第2章から第4章で作った光線の行列とガウスビームの道具をこの往復に当て、鏡の間に閉じ込められる場の分布（モード）を求める。

この章で取り出すモードは、近軸のビーム（第4章の Hermite–Gauss のモード）を光軸方向にも閉じ込めたもので、物質のモデルは鏡だけである。鏡は、曲率半径 $R_i$ と振幅の反射率 $r_i$ の2つの数で表す。光と鏡の結合は「1周回って戻った場が元の場に比例する」という境界の条件に尽き、利得を持つ媒質（レーザーの媒質）はまだ入れない（第22章で入れる）。5.1節で鏡の間の往復を1つの行列（周回行列）にまとめ、5.2節でその行列の対角成分の和だけから、光線が鏡の間に閉じ込められるか逃げ出すかが決まることを示す。5.3節から5.5節が「出てくるもの」で、横モード（ビームの太さと波面）、縦モードと共鳴周波数（自由スペクトル領域と横モードの間隔）、損失から決まる光子の寿命・Q 値・フィネスを順に出す。共鳴周波数のずれを決める Gouy 位相が、光線の周回行列の固有値の角と同じ数になることが、この章の中心の結果である。5.6節で置いた近似と測る量を述べ、学部の光学で習う $g$ パラメータの式と並べる。

2枚の鏡と展開した光路

光軸を $z$ にとり、鏡1（曲率半径 $R_1$）と鏡2（曲率半径 $R_2$）を距離 $L$ だけ離して向かい合わせる。鏡の間は空気（屈折率 $1$）とする。曲率半径の符号は第2章（第2章）の流儀に従い、共振器の内側から見て凹んだ鏡で $R_i>0$、平面鏡で $R_i=\infty$、凸面鏡で $R_i<0$ とする。

光線は光軸からの高さ $x$ と運動量 $p$（空気中では光軸に対する傾きの角）の組 $(x,p)$ で表し、距離 $d$ の自由な伝搬と曲率半径 $R$ の鏡での反射を、それぞれ

$$T(d)=\begin{pmatrix}1&d\\0&1\end{pmatrix},\qquad M_{\mathrm{mirror}}(R)=\begin{pmatrix}1&0\\-2/R&1\end{pmatrix}\tag{5.1}$$

の行列で表す（第2章の式。反射は光路を鏡の所で折り返して、光が $z$ の正の向きに進み続けるとみなす展開した光路で数える）。凹面鏡は焦点距離 $R/2$ の薄いレンズと同じ行列を持つので、展開した光路の上では、2枚の鏡の間の往復は、焦点距離 $R_1/2$ と $R_2/2$ のレンズを間隔 $L$ で交互に無限に並べた列（レンズの導波路）を進むことと同じになる。

鏡1で反射した直後の面を基準の面にとる。光はそこから $L$ 進んで鏡2で反射し、また $L$ 進んで鏡1で反射して、基準の面に戻る。行列は右から順に掛けるので、1周の行列は

$$M_{\mathrm{rt}}=M_{\mathrm{mirror}}(R_1)\,T(L)\,M_{\mathrm{mirror}}(R_2)\,T(L)\tag{5.2}$$

である。この章ではこれを周回行列と呼ぶ。各因子の行列式が $1$ なので $\det M_{\mathrm{rt}}=1$ で、これは光線の写像が線形の正準変換（シンプレクティック）であることの表れである（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部第10章）。2枚の鏡の配置は、次の2つの無次元の数にまとめるのが便利である。

$$g_1=1-\frac{L}{R_1},\qquad g_2=1-\frac{L}{R_2}.\tag{5.3}$$

平面鏡は $g=1$、鏡の間隔が曲率半径に等しい凹面鏡（$L=R$）は $g=0$、間隔が曲率半径の2倍（$L=2R$）は $g=-1$ である。式 (5.2) を $g_1$, $g_2$ で書くと

$$M_{\mathrm{rt}}=\begin{pmatrix}2g_2-1&2g_2L\\[2pt]\dfrac{2}{L}(2g_1g_2-g_1-g_2)&4g_1g_2-2g_2-1\end{pmatrix},\qquad \frac{A+D}{2}=2g_1g_2-1\tag{5.4}$$

となる（例題 5.1）。行列の各成分は基準の面の選び方で変わるが、対角成分の和 $A+D$ は基準の面を変えても変わらない。基準の面を別の場所に移すことは、周回行列を $S M_{\mathrm{rt}} S^{-1}$ の形の行列（$S$ は2つの面の間の行列）に取り替えることで、対角成分の和はこの変換で保たれるからである。共振器の性質のうち基準の面によらないものは、すべて $A+D$ だけで決まるはずで、実際に次の節の安定条件と5.4節の共鳴周波数のずれは $g_1g_2$ だけで書ける。

モードの定義

周回行列は光線の行き先を決めるが、共振器のモードは光線でなく波の分布である。場の複素振幅を、光軸方向の速い位相 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} kz}$ を抜き出して $\bm{E}=\operatorname{Re}[\,u(\bm{x},z)\mathrm{e}^{\mathrm{i}(kz-\omega t)}\,]$ と書く（この本の流儀。$\bm{x}=(x,y)$ は光軸に垂直な面の上の位置で、偏光の向きは固定してスカラーの $u$ だけを追う）。

$\lvert \gamma\rvert <1$ なら場は周回ごとに小さくなり、外から光を入れ続けない限り消える。周回の位相 $\arg\gamma$ に、速い位相 $\mathrm{e}^{2\mathrm{i} kL}$ を合わせたものが $2\pi$ の整数倍になる周波数でだけ、周回ごとの場が同じ位相で重なって大きくなる。これが共振器の共鳴である。モードの定義は、周回の写像の固有関数を探すことにほかならない。第1章の平面鏡の定在波 $\sin(k_\ell z)$, $k_\ell=\ell\pi/L$ は、横の分布を一様な平面波とした特別な場合で、1周の位相 $2k_\ell L=2\pi\ell$ がちょうど $2\pi$ の整数倍になっている。

物質のモデルとしての鏡は、曲率半径 $R_i$ で横の分布の形を、振幅の反射率 $r_i$（$0<r_i<1$ の実数とする。鏡の反射の位相は周回ごとに一定なので、共鳴の条件の整数を数え直すだけで済み、ここでは $0$ とおく）で $\lvert \gamma\rvert$ を決める。5.3節と5.4節では鏡を完全な反射（$r_i=1$）とみなして横の形と共鳴周波数を求め、5.5節で $r_i<1$ を入れる。