この章のまとめ

(1) 式 (4.21) から $w_{\mathrm s}^2=2/(k_0n_0\alpha)$。$k_0=2\pi/\lambda_0=5.905\times10^6\,\mathrm{m^{-1}}$, $n_0\alpha=7.5\times10^3\,\mathrm{m^{-1}}$ なので$w_{\mathrm s}^2=4.52\times10^{-11}\,\mathrm{m^2}$、$w_{\mathrm s}=6.72\,\mu\mathrm m$ である。これは解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部第10章の総合問題で Bohr–Sommerfeld の条件から出した放物型の媒質のモードの、最も低いものの幅に当たる。

(2) 式 (4.22) で $\beta_{00}-\beta_{20}=2\alpha$ なので、2つのモードの干渉の項 $\cos((\beta_{00}-\beta_{20})z)$ の周期は $2\pi/(2\alpha)=\pi/\alpha=0.628\,\mathrm{mm}$ である。近軸の光線の振動の周期は $2\pi/\alpha=1.257\,\mathrm{mm}$ で、強度の分布の周期はその半分になる。$u_{00}$ と $u_{20}$ はどちらも $x\to-x$ で変わらないので、その重ね合わせの強度は、光線が光軸の正の側にいるときと負の側にいるときで同じ形になり、半周期ごとに戻る。

(3) 端面で $1/\bar q_{\mathrm i}=\mathrm{i}\,2/(k_0w_{\mathrm i}^2)$（$R=\infty$）。$x_{\mathrm c}(0)=w_{\mathrm i}$, $p_{\mathrm c}(0)=\mathrm{i}\,2/(k_0w_{\mathrm i})$ の複素光線を放物型の媒質の行列で動かすと

$$x_{\mathrm c}(z)=w_{\mathrm i}\cos\alpha z+\mathrm{i}\frac{2}{k_0w_{\mathrm i}n_0\alpha}\sin\alpha z=w_{\mathrm i}\cos\alpha z+\mathrm{i}\frac{w_{\mathrm s}^2}{w_{\mathrm i}}\sin\alpha z$$

で、$w(z)=\lvert x_{\mathrm c}(z)\rvert$ から

$$w(z)^2=w_{\mathrm i}^2\cos^2\alpha z+\frac{w_{\mathrm s}^4}{w_{\mathrm i}^2}\sin^2\alpha z .$$

半径は $w_{\mathrm i}=10\,\mu\mathrm m$ と $w_{\mathrm s}^2/w_{\mathrm i}=4.52\,\mu\mathrm m$ の間を周期 $\pi/\alpha=0.628\,\mathrm{mm}$ で振動する（ABCD 則の1次分数変換で直接計算しても同じ。verify で確かめた）。$w_{\mathrm i}=w_{\mathrm s}$ のときに限り半径が一定で、それが基本モードである。量子力学の言葉では、合っていない幅の波束が調和振動子の中で縮んだり広がったりする（スクイーズド状態の幅の振動）のと同じで、周期が振動の周期の半分であることも同じ理由による。

(4) 端面で $u_{\mathrm i}=\mathrm{e}^{-\lvert \bm{x}\rvert ^2/w_{\mathrm i}^2}$, $u_{\mathrm s}=\mathrm{e}^{-\lvert \bm{x}\rvert ^2/w_{\mathrm s}^2}$ で、ガウス積分から1つの向きあたり$\int\mathrm{e}^{-x^2(1/w_{\mathrm i}^2+1/w_{\mathrm s}^2)}\mathrm{d} x\big/\sqrt{\int\mathrm{e}^{-2x^2/w_{\mathrm i}^2}\mathrm{d} x\int\mathrm{e}^{-2x^2/w_{\mathrm s}^2}\mathrm{d} x}=\sqrt{2w_{\mathrm i}w_{\mathrm s}/(w_{\mathrm i}^2+w_{\mathrm s}^2)}$。2つの向きの積を2乗して

$$\eta=\Bigl(\frac{2w_{\mathrm i}w_{\mathrm s}}{w_{\mathrm i}^2+w_{\mathrm s}^2}\Bigr)^2=0.857$$

である。入れた包絡線は $x$ と $y$ の両方の向きに偶関数なので、残りの $14$ パーセントは $m$ と $l$ がともに偶数のモード（$u_{20}$, $u_{02}$, $u_{22}$, $u_{40}$, …）に入る。(3) の幅の振動は、基本モードとこれらのモードの干渉で、(2) の周期 $\pi/\alpha$ と一致する。

(5) 端面は平らなので、第2章の行列は $\bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}\bigr)$ である（$p=n\sin\theta$ は Snell の法則で境界をまたいで連続で、$x$ も連続）。したがって換算した $\bar q$ も半径も波面の曲率も端面で変わらず、空気中で端面にくびれ（$R=\infty$）を半径 $w_{\mathrm s}$ で作ればよい。平行なビームの Rayleigh 長は $\pi(1\,\mathrm{mm})^2/\lambda_0=2.95\,\mathrm m$ で焦点距離より十分長いので、例題 4.4 の式から

$$f=\frac{\pi w_{\mathrm L}w_{\mathrm s}}{\lambda_0}=\frac{\pi\times10^{-3}\times6.72\times10^{-6}}{1.064\times10^{-6}}\,\mathrm m=19.8\,\mathrm{mm}$$

で、端面をレンズの焦点に置く。厳密な ABCD 則で計算しても、くびれは焦点より $(f/z_{\mathrm R})^2f=9\times10^{-7}\,\mathrm m$ 手前にできるだけで、半径のずれは $10^{-4}$ に満たない。幾何光学で見ると、この集光の光線の角は $w_{\mathrm L}/f=0.050\,\mathrm{rad}$ で、ファイバーの中では $n_0$ で割った $0.034\,\mathrm{rad}$ になり、近軸の光線が光軸から $w_{\mathrm s}$ まで振れるときの傾き $\alpha w_{\mathrm s}=0.034$ と一致する。