出てくるもの（1）：ガウスビームの幅・波面・Gouy 位相

光学と量子エレクトロニクス　第4章 §4.3　★★★ くびれの半径 $w_0$ だけでビームの形が決まる。Rayleigh 長 $z_{\mathrm R}=\pi n w_0^2/\lambda_0$ の内側では太さがほぼ一定で、外側では角 $\lambda_0/(\pi nw_0)$ で広がり、焦点を通る間に位相が $\pi$ だけ遅れる

幅と波面の曲率

一様な媒質（屈折率 $n$、$k=nk_0$）で、$z=0$ にくびれを持つビームを考える。くびれでは波面が平らで $R=\infty$ なので、式 (4.9) から $q(0)=-\mathrm{i} z_{\mathrm R}$、

$$z_{\mathrm R}=\frac{kw_0^2}{2}=\frac{\pi nw_0^2}{\lambda_0}\tag{4.14}$$

である。$z_{\mathrm R}$ を Rayleigh 長と呼ぶ。式 (4.8) から $q(z)=z-\mathrm{i} z_{\mathrm R}$ で、$1/q=(z+\mathrm{i} z_{\mathrm R})/(z^2+z_{\mathrm R}^2)$ の実部と虚部を読むと

$$w(z)=w_0\sqrt{1+\frac{z^2}{z_{\mathrm R}^2}},\qquad R(z)=z+\frac{z_{\mathrm R}^2}{z}\tag{4.15}$$

になる。前の因子は $q(0)/q(z)=1/(1+\mathrm{i} z/z_{\mathrm R})=(w_0/w)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\psi_{\mathrm G}(z)}$ で、

$$E(\bm{r})=E_0\frac{w_0}{w(z)}\exp\Bigl(-\frac{\lvert \bm{x}\rvert ^2}{w(z)^2}\Bigr)\exp\Bigl(\mathrm{i} kz+\mathrm{i}\frac{k\lvert \bm{x}\rvert ^2}{2R(z)}-\mathrm{i}\psi_{\mathrm G}(z)\Bigr),\qquad \psi_{\mathrm G}(z)=\arctan\frac{z}{z_{\mathrm R}}\tag{4.16}$$

がガウスビーム（基本ガウスビーム）の場である。図 4.1 にビームの包絡と波面の形を示す。

$\lvert z\rvert \ll z_{\mathrm R}$ ではビームの太さはほぼ $w_0$ のままで、波面はほぼ平らである。$z=\pm z_{\mathrm R}$ で断面積が $2$ 倍になり、波面の曲率半径が最小の $2z_{\mathrm R}$ になる。$\lvert z\rvert \gg z_{\mathrm R}$ では $w\approx w_0\lvert z\rvert /z_{\mathrm R}$ と距離に比例して太くなり、$R\approx z$ で、くびれの中心から出た球面波のように見える。この遠方での広がりの半角は

$$\theta_0=\frac{w_0}{z_{\mathrm R}}=\frac{\lambda_0}{\pi nw_0}\tag{4.17}$$

で、細いビームほど速く広がる。

Gouy 位相

式 (4.16) の位相のうち $kz$ は平面波と同じで、$-\psi_{\mathrm G}(z)$ が余分である。$\psi_{\mathrm G}$ を Gouy 位相と呼ぶ。$\psi_{\mathrm G}$ は $z=-\infty$ から $+\infty$ までに $-\pi/2$ から $+\pi/2$ まで増え、そのうち半分の $\pi/2$ が $-z_{\mathrm R}<z<z_{\mathrm R}$ の間に起こる（図 4.2）。光軸の上の位相は、焦点を通る間に平面波より全体で $\pi$ だけ遅れる。2次元の自由粒子の波束の位相が、広がる途中で $\arctan(\hbar t/(m\sigma^2))$ の形で遅れるのと同じ現象である。光線の言葉では、2本の実の光線（式 (4.13)）で作った複素光線 $x_{\mathrm c}=w_0(1+\mathrm{i} z/z_{\mathrm R})$ の偏角 $\arg x_{\mathrm c}=\psi_{\mathrm G}$ が Gouy 位相で、前の因子は $\sqrt{w_0/x_{\mathrm c}}$ の2乗（2次元）になっている。Gouy 位相は、共振器の中のモードの共鳴の周波数（第5章）と、高次の横モードの位相の進み（4.4節）に現れる。L. G. Gouy は焦点の前後で位相が反転することを干渉縞の観察で示した（Gouy（1890）、C. R. Acad. Sci. Paris 110、1251）。

最小不確定の波束と出力

くびれでの強度は $\lvert u\rvert ^2\propto\exp(-2\lvert \bm{x}\rvert ^2/w_0^2)$ で、$x$ の分布の標準偏差は $\sigma_x=w_0/2$ である。包絡線 $\mathrm{e}^{-x^2/w_0^2}$ の Fourier 変換は $\mathrm{e}^{-k_x^2w_0^2/4}$ なので、横の波数の標準偏差は $\sigma_{k_x}=1/w_0$、運動量 $p=k_x/k_0$ の標準偏差は $\sigma_p=1/(k_0w_0)$ である。積は

$$\sigma_x\sigma_p=\frac{1}{2k_0}\tag{4.18}$$

で、表 4.1 の $\hbar\to1/k_0$ で写した不確定性関係 $\sigma_x\sigma_p\ge\hbar/2$ の等号に当たる。ガウスビームは、太さと広がりの積が最も小さいビームである。遠方の広がりの角 $\theta_0$（式 (4.17)）は $1/\mathrm{e}^2$ の強度で測った値で、$n\theta_0=2\sigma_p$ である。

ビームの出力 $P$ は強度を断面で積分したもので、中心の強度を $I_0$ とすると

$$P=\int_0^\infty I_0\mathrm{e}^{-2r^2/w^2}\,2\pi r\,\mathrm{d} r=\frac{\pi w^2}{2}I_0,\qquad I_0=\frac{2P}{\pi w^2}\tag{4.19}$$

である。第1章の総合問題（第1章）で使った焦点の強度 $I=2P/(\pi w_0^2)$ はこれである。半径 $w$ の円の内側を通る出力の割合は $1-\mathrm{e}^{-2}=0.865$ である。