出てくるもの（2）：高次の横モードは調和振動子の固有関数

光学と量子エレクトロニクス　第4章 §4.4　★★★ 放物型の媒質の横モードは調和振動子の固有関数そのもので、伝搬定数が $\alpha$ の間隔で並ぶ。一様な媒質でも、複素光線で作った梯子の演算子が伝搬と可換なので、Hermite–Gauss モードは形を保って進み、Gouy 位相を $(m+\frac12)$ 倍で受け取る

放物型の媒質：調和振動子そのもの

屈折率が $n^2=n_0^2(1-\alpha^2\lvert \bm{x}\rvert ^2)$ の放物型の媒質（光ファイバーの屈折率分布型のコアや、第3章の棒レンズ）では、式 (4.5) の演算子は

$$\hat H_2=\frac{\hat p_x^2+\hat p_y^2}{2n_0}+\frac{n_0\alpha^2}{2}(\hat x^2+\hat y^2),\qquad \left[\hat x,\,\hat p_x\right]=\left[\hat y,\,\hat p_y\right]=\frac{\mathrm{i}}{k_0}\tag{4.20}$$

で、質量 $n_0$、角振動数 $\alpha$ の2次元の調和振動子である。その固有値は $(m+\tfrac12)\alpha/k_0+(l+\tfrac12)\alpha/k_0$（$m,l=0,1,2,\dots$）で、固有関数は

$$u_{ml}(\bm{x})=H_m\Bigl(\frac{\sqrt2\,x}{w_{\mathrm s}}\Bigr)H_l\Bigl(\frac{\sqrt2\,y}{w_{\mathrm s}}\Bigr)\exp\Bigl(-\frac{\lvert \bm{x}\rvert ^2}{w_{\mathrm s}^2}\Bigr),\qquad w_{\mathrm s}^2=\frac{2}{k_0n_0\alpha}\tag{4.21}$$

である（$H_m$ は Hermite 多項式。調和振動子の基底状態の幅 $\sqrt{\hbar/(m\omega)}$ の写しが $w_{\mathrm s}/\sqrt2$）。固有関数は $z$ によらない形のまま位相 $\mathrm{e}^{-\mathrm{i} k_0E_{ml}z}$ を受け取るので、場は $E=u_{ml}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\beta_{ml}z}$、

$$\beta_{ml}=n_0k_0-(m+l+1)\alpha\tag{4.22}$$

の形で進む。$\beta_{ml}$ を伝搬定数と呼ぶ。この形を保って進む場の分布が、ファイバーの横モードである。隣り合うモードの伝搬定数の差は $\alpha$ で、2つのモードを重ねると $z$ について周期 $2\pi/\alpha$ でうなりが起こる。これは近軸の光線が光軸の周りを振動する周期 $2\pi/\alpha$（第3章の総合問題）と同じで、量子力学で調和振動子の準位の間隔が古典の振動数に等しいことの写しである。

式 (4.21) の基底状態は、ABCD 則からも出る。放物型の媒質の行列 $\bigl(\begin{smallmatrix}\cos\alpha z&\sin\alpha z/(n_0\alpha)\\-n_0\alpha\sin\alpha z&\cos\alpha z\end{smallmatrix}\bigr)$ の1次分数変換で変わらない $\bar q$ は$\bar q^2=-1/(n_0\alpha)^2$ の根のうち $\operatorname{Im}(1/\bar q)>0$ のもの $\bar q=-\mathrm{i}/(n_0\alpha)$ で、$\operatorname{Im}(1/\bar q)=n_0\alpha=2/(k_0w_{\mathrm s}^2)$ から同じ $w_{\mathrm s}$ になる。行列の固定点を探すこの方法は、第5章（第5章）で共振器の固有モードを求めるときにそのまま使う。

一様な媒質：複素光線で作る梯子の演算子

一様な媒質には閉じ込めるポテンシャルが無いので、時間（$z$）によらない固有関数は無い。それでも、くびれで調和振動子の固有関数の形をした包絡線は、太さを変えながら同じ形を保って進む。これを示すのに、複素光線 $(x_{\mathrm c}(z),p_{\mathrm c})$（4.2節）を使って1成分ごとに

$$\hat b(z)=\frac{k_0}{2}\bigl(x_{\mathrm c}(z)\,\hat p-p_{\mathrm c}\,\hat x\bigr),\qquad x_{\mathrm c}(z)=w_0\Bigl(1+\mathrm{i}\frac{z}{z_{\mathrm R}}\Bigr),\quad p_{\mathrm c}=\mathrm{i}\frac{\lambda_0}{\pi w_0}\tag{4.23}$$

を作る（$\hat b$ は正本の光子の $\hat a$ と分けるための記号）。

証明

(i) $\left[\hat x,\,\hat p\right]=\mathrm{i}/k_0$ から $\left[x_{\mathrm c}\hat p-p_{\mathrm c}\hat x,\,x_{\mathrm c}^*\hat p-p_{\mathrm c}^*\hat x\right]=(x_{\mathrm c}p_{\mathrm c}^*-p_{\mathrm c}x_{\mathrm c}^*)\,\mathrm{i}/k_0=\mathcal I(\mathrm c,\mathrm c^*)\,\mathrm{i}/k_0$。式 (4.23) の値で $\mathcal I=-2\mathrm{i}\operatorname{Im}(p_{\mathrm c}x_{\mathrm c}^*)=-2\mathrm{i}\cdot2/k_0$ なので、交換子は $(k_0^2/4)(-4\mathrm{i}/k_0)(\mathrm{i}/k_0)=1$ である。

(ii) $\hat pu_0=-(\mathrm{i}/k_0)\partial_xu_0=(p_{\mathrm c}x/x_{\mathrm c})u_0$ なので $(x_{\mathrm c}\hat p-p_{\mathrm c}\hat x)u_0=0$。

(iii) 時間に陽によらない演算子の $\hat U\hat O\hat U^\dagger$ は $\mathrm{d}\hat O/\mathrm{d} z=-\mathrm{i} k_0\left[\hat H_2,\,\hat O\right]$ に従う。$\hat H_2=\hat p^2/(2n)$ では $\left[\hat H_2,\,\hat x\right]=-\mathrm{i}\hat p/(nk_0)$ なので右辺は $(p_{\mathrm c}/n)(k_0/2)\hat p$、左辺は $\mathrm{d} x_{\mathrm c}/\mathrm{d} z=p_{\mathrm c}/n$（複素光線の Hamilton 方程式）から $(k_0/2)(p_{\mathrm c}/n)\hat p$ で、両者は等しい。$z=0$ で一致するので、$\hat b(z)=\hat U\hat b(0)\hat U^\dagger$ である。

命題 4.2 から、くびれで $u_m(\cdot,0)\propto(\hat b(0)^\dagger)^mu_0(\cdot,0)$ と作った包絡線は、$u_m(\cdot,z)=\hat U(z)u_m(\cdot,0)\propto(\hat b(z)^\dagger)^mu_0(\cdot,z)$ と進む。$\hat b(z)^\dagger$ を $u_0(\cdot,z)$ に $m$ 回当てる操作は、$z$ によらない調和振動子の梯子の演算子の幅を $w_0$ から $w(z)=\lvert x_{\mathrm c}\rvert$ に取り替え、位相 $(x_{\mathrm c}^*/x_{\mathrm c})^{1/2}=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\psi_{\mathrm G}}$ を1回ごとに掛けたものになる。2つの横の向きを合わせて、Hermite–Gauss モード

$$u_{ml}(\bm{x},z)=\frac{w_0}{w}H_m\Bigl(\frac{\sqrt2\,x}{w}\Bigr)H_l\Bigl(\frac{\sqrt2\,y}{w}\Bigr)\exp\Bigl(-\frac{\lvert \bm{x}\rvert ^2}{w^2}+\mathrm{i}\frac{k\lvert \bm{x}\rvert ^2}{2R}\Bigr)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(m+l+1)\psi_{\mathrm G}(z)}\tag{4.24}$$

を得る（$w$, $R$, $\psi_{\mathrm G}$ は基本ガウスビームと同じ。$m\le5$ まで近軸波動方程式を満たすことを verify で確かめた）。放物型の媒質では $x_{\mathrm c}=w_{\mathrm s}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha z}$ の大きさが一定で偏角だけが $\alpha z$ で増えるので、同じ式の $\psi_{\mathrm G}$ が $\alpha z$ に置き換わり、式 (4.22) に戻る。Gouy 位相は、複素光線の偏角で測った調和振動子の位相の進みで、モードの次数 $m+l$ が1つ上がるごとに1回分ずつ多く受け取る。図 4.3 に $m=0,1,2,3$ の強度の分布を示す。光軸のまわりに回転対称な系では、$H_m H_l$ の積の代わりに角運動量の固有状態に当たる Laguerre–Gauss モードを使うこともでき、そのときの Gouy 位相は $(2p+\lvert \ell\rvert +1)\psi_{\mathrm G}$（$p$ は動径の次数、$\ell$ は方位角の次数）になる。