何を近似したか・何の実験の量で確かめるか

光学と量子エレクトロニクス　第4章 §4.5　★★ 近軸近似とスカラー近似の小さいパラメータは $1/(kw_0)$。ビームの幅はナイフエッジやカメラで測り、$w(z)$ の双曲線から $w_0$ と $M^2$ を読む

置いた近似

この章で置いた近似は2つある。1つ目は Helmholtz 方程式 (4.3) の $\partial_z^2u$ を捨てた近軸近似で、小さいパラメータは $\theta_0^2/4$、ガウスビームでは $\theta_0=2/(kw_0)$ なので $1/(kw_0)^2$ である。2つ目は電場を1成分のスカラーとして扱ったことで、Maxwell 方程式の $\nabla\cdot\bm{E}=0$ から、横の向きに偏ったビームにも縦（$z$）の成分が $E_z\sim(\partial_xE_x)/(\mathrm{i} k)$ の大きさで必ず伴う。この縦の成分は横の成分に比べて $1/(kw_0)$ の程度である。M. Lax, W. H. Louisell, W. B. McKnight は Maxwell 方程式を $f=1/(kw_0)$ の冪で展開し、0次の場が近軸波動方程式に従うことと、1次・2次・3次の補正の満たす式を示した（Lax, Louisell, McKnight（1975）、Phys. Rev. A 11、1365）。

近軸近似が崩れる様子を、近似を置かない回折の計算と比べる。横の1つの向きだけを考え、$z=0$ の包絡線 $\mathrm{e}^{-x^2/w_0^2}$ を Fourier 変換して、各平面波の成分に厳密な $k_z=\sqrt{k^2-k_x^2}$ の位相を掛けて重ね直す（角スペクトルの方法。$\lvert k_x\rvert >k$ の成分は減衰するので落とす）。図 4.4 は、強度の2次モーメントで測った半径 $2\sigma_x$ を近軸の $w(z)$ と比べたものである。$w_0=10\lambda_0$ では2つは $10^{-3}$ より良く一致し、$w_0=\lambda_0$（$\theta_0=0.32\,\mathrm{rad}$）でも $z=5z_{\mathrm R}$ で厳密な値のほうが $4$ パーセント太いだけである。ビームの太さは、例題 4.1 で見た位相よりもはるかに近軸近似に強い。

図 4.4　くびれの半径 $w_0=\lambda_0$ のビーム（横は1つの向き）の半径。実線は近軸の $w(z)=w_0\sqrt{1+z^2/z_{\mathrm R}^2}$、点線（点つき）は角スペクトルの方法による厳密なスカラーの回折計算で、強度の2次モーメントから $2\sigma_x$ として出した。$z_{\mathrm R}=\pi w_0^2/\lambda_0$

近軸近似の側には、もう1つの見方がある。式 (4.5) は、光線の Hamiltonian $H=-\sqrt{n^2-\lvert \bm{p}\rvert ^2}$ を2次で打ち切ってから量子化したものなので、打ち切った4次の項 $\lvert \bm{p}\rvert ^4/(8n^3)$ は第3章の収差の波の版で、ガウスビームでは $\sigma_p\sim\theta_0$ の4乗の補正として現れる。

何の実験の量で確かめるか

ビームの半径はナイフエッジ法で測ることができる。ビームを刃で $x<x_{\mathrm e}$ の側から遮り、残りの出力を測ると、透過の割合は

$$T(x_{\mathrm e})=\frac{\int_{x_{\mathrm e}}^\infty\mathrm{e}^{-2x^2/w^2}\mathrm{d} x}{\int_{-\infty}^\infty\mathrm{e}^{-2x^2/w^2}\mathrm{d} x}=\frac12\operatorname{erfc}\Bigl(\frac{\sqrt2\,x_{\mathrm e}}{w}\Bigr)\tag{4.25}$$

である（$y$ の向きは積分で消える）。刃を動かしながら $T$ を記録して誤差関数に合わせると $w$ が出る。CCD などのカメラで強度の分布を直接撮って、2次モーメントから $w=2\sigma_x$ を出すこともできる。

$w(z)$ を光軸に沿って何点も測り、双曲線 $w(z)^2=w_0^2\bigl[1+\bigl(M^2\lambda_0(z-z_0)/(\pi nw_0^2)\bigr)^2\bigr]$ に合わせると、くびれの位置 $z_0$・半径 $w_0$・ビーム品質 $M^2$ が決まる。$M^2$ は例題 4.5 の比で、基本ガウスビームで $1$、Hermite–Gauss モード $u_{m0}$ の $x$ の向きで $2m+1$ である。幅を2次モーメントで定義した $M^2$ は近軸の伝搬で変わらないので、レーザーの出す光が基本モードにどれだけ近いかを1つの数で表すことができる。Gouy 位相は、焦点の前後で光を参照の波と干渉させ、縞の位置のずれとして測る。