授業で習った形との対応

(1) くびれで $\bar q_1=-\mathrm{i} z_{\mathrm R}$、レンズの手前で $\bar q=s-\mathrm{i} z_{\mathrm R}$、レンズの後で $1/\bar q_{\mathrm L}=1/(s-\mathrm{i} z_{\mathrm R})-1/f$。レンズの後のくびれは $\bar q_{\mathrm L}+s'$ が純虚数になる所なので、$s'=-\operatorname{Re}\bar q_{\mathrm L}$。$1/(s-\mathrm{i} z_{\mathrm R})=(s+\mathrm{i} z_{\mathrm R})/(s^2+z_{\mathrm R}^2)$ を入れて整理すると

$$s'=f+\frac{(s-f)f^2}{(s-f)^2+z_{\mathrm R}^2},$$

で、これを書き直すと与式になる。焦点から測った距離 $\zeta=s-f$, $\zeta'=s'-f$ で書くと $\zeta'=f^2\zeta/(\zeta^2+z_{\mathrm R}^2)$ で、第2章の Newton の式 $\zeta'=f^2/\zeta=f^2\zeta/\zeta^2$ の分母に $z_{\mathrm R}^2$ が足されている。レンズの後のくびれで $\bar q_{\mathrm L}+s'=-\mathrm{i} z_{\mathrm R}'$ と書くと、同じ計算の虚部から $z_{\mathrm R}'=z_{\mathrm R}f^2/[(s-f)^2+z_{\mathrm R}^2]$ で、$w_2^2=\lambda_0z_{\mathrm R}'/\pi=w_1^2f^2/[(s-f)^2+z_{\mathrm R}^2]$、つまり与式になる。

(2) $z_{\mathrm R}\to0$ で第1項は $1/s$ になり、幾何光学のレンズの式に戻る。$w_2/w_1\to f/\lvert s-f\rvert$ は幾何光学の横倍率の大きさ $\lvert s'/s\rvert$ に等しい。

(3) $z_{\mathrm R}=\pi(0.5\times10^{-3})^2/(1.064\times10^{-6})=0.738\,\mathrm m$。$s-f=0.8\,\mathrm m$ なので $s'=0.2+0.8\times0.04/(0.64+0.545)\,\mathrm m=0.2270\,\mathrm m$、$w_2=0.5/\sqrt{16+13.62}\,\mathrm{mm}=91.9\,\mu\mathrm m$ である。幾何光学の像は $s'=1/(1/0.2-1/1)=0.25\,\mathrm m$ にできるので、くびれは $2.3\,\mathrm{cm}$ 焦点の側に寄る。くびれは物体の点のように結像されるのではなく、$z_{\mathrm R}$ が $s-f$ と同程度のときには、幾何光学の像の位置から大きくずれる。