出てくるもの (2)：波動関数と古典の分布

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第4部 第4章 §4.4.4　★★ $\hat a\psi_0=0$ が1階の微分方程式になり Gauss 関数が出る。$n$ が大きいと $\lvert \psi_n\rvert ^2$ を平均したものは古典の滞在時間の分布に近づく

基底状態は1階の方程式で決まる

位置表示（$\hat q\to q$、$\hat p\to-\mathrm{i}\hbar\,\partial_q$。第4部第2章）で、$\hat a| 0 \rangle =0$ は

$$\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\Bigl(q+\frac{\hbar}{m\omega}\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} q}\Bigr)\psi_0(q)=0,\qquad \frac{\mathrm{d} \psi_0}{\mathrm{d} q}=-\frac{q}{\ell^2}\,\psi_0$$

という1階の方程式になる。2階の Schrödinger 方程式を解く代わりに、1階の方程式を積分するだけでよく、規格化して

$$\psi_0(q)=\frac{1}{\pi^{1/4}\sqrt\ell}\,\mathrm{e}^{-q^2/(2\ell^2)}\tag{4.4.21}$$

を得る。$\lvert \psi_0\rvert ^2$ は分散 $\ell^2/2$ の Gauss 分布で、4.4.3節で不確定性から求めた最小の幅と一致する。基底状態は位置と運動量の不確定性の積が下限 $\hbar/2$ に等しい状態である。

励起状態

$\xi=q/\ell$ と書くと $\hat a^\dagger=\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\xi-\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \xi}\bigr)$ で、式 (4.4.17) の $(\hat a^\dagger)^n$ を $\psi_0$ に掛けると

$$\psi_n(q)=\frac{1}{\pi^{1/4}\sqrt{2^nn!\,\ell}}\,H_n(\xi)\,\mathrm{e}^{-\xi^2/2},\qquad \xi=\frac q\ell\tag{4.4.22}$$

を得る。$H_n$ は $n$ 次の Hermite 多項式で、$H_0=1$, $H_1=2\xi$, $H_2=4\xi^2-2$, $H_3=8\xi^3-12\xi$ である。$\hat a^\dagger$ を1回掛けるごとに $H_{n+1}(\xi)=2\xi H_n(\xi)-H_n'(\xi)$ の漸化式が1回使われ、次数が1つ上がり、節（$\psi_n=0$ の点）が1つ増える。Hermite 多項式は、授業では級数の打ち切りとして出てくる（4.4.6節）が、この章の道筋では生成演算子を繰り返し掛けた結果である。

古典の分布との比較

古典の振動子をエネルギー $E$ で振らせ、ランダムな時刻に位置を測ると、位置の分布は粒子がそこに滞在する時間に比例する。速さ $\lvert \dot q\rvert =\omega\sqrt{A^2-q^2}$（$A$ は振幅）に反比例するので

$$P_{\mathrm{cl}}(q)=\frac{1}{\pi\sqrt{A^2-q^2}}\quad(\lvert q\rvert <A),\qquad A=\sqrt{\frac{2J}{m\omega}}\tag{4.4.23}$$

で、転回点 $q=\pm A$ で発散する。角変数で言えば、$\theta$ は一様に進むので $\theta$ について一様な分布を $q=A\sin\theta$ で写したものである。

量子の $\lvert \psi_n\rvert ^2$ と比べるには、作用変数をそろえて $J=J_n=(n+\frac12)\hbar$、つまり $A=\ell\sqrt{2n+1}$ にとる。図 4.4.2 に $n=10$ の場合を描いた。$\lvert \psi_{10}\rvert ^2$ は $11$ 個の山を持って激しく振動するが、山の高さの包絡線は古典の分布をなぞり、転回点の近くで高く、中央で低い。古典の転回点の外（古典では入れない領域）にも確率がしみ出しており、その確率は $n=0$ で $\mathrm{erfc}(1)=0.157$、$n=10$ で $0.060$ である。

$n$ を大きくすると、山の間隔は $\ell/\sqrt n$ 程度に細かくなり、決まった幅で平均した分布は古典の分布に近づく。$\xi$ の幅 $0.1\,\xi_0$（$\xi_0=\sqrt{2n+1}$ は転回点）で均した分布と古典の分布の相対差の最大値（転回点の近くを除いた $\lvert \xi\rvert <0.8\,\xi_0$ の範囲）は、$n=10$ で $0.71$、$n=40$ で $0.21$ と小さくなる。平均をとらない $\lvert \psi_n\rvert ^2$ そのものは、どれだけ $n$ を大きくしても古典の分布に近づかない（節の点では $0$ のまま）。古典の分布に戻るのは、粗く見た量である。