出てくるもの (3)：コヒーレント状態と古典の軌道

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第4部 第4章 §4.4.5　★★ $\hat a$ の固有状態 $| \alpha \rangle$ は、中心が古典の軌道 $\alpha\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}$ に沿って回り、幅を変えない波束。光子数は Poisson 分布

古典の点に最も近い量子状態

古典の振動子の状態は、相空間の1点、つまり複素振幅 $z$ 1つで決まる。量子の状態で、複素振幅の演算子 $\hat a=\hat z/\sqrt\hbar$ が確定した値を持つものを探す。$\hat a$ はエルミートでないが、固有状態は持つ。複素数 $\alpha$ について

$$| \alpha \rangle =\mathrm{e}^{-\lvert \alpha\rvert ^2/2}\sum_{n=0}^\infty\frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}| n \rangle ,\qquad \hat a| \alpha \rangle =\alpha| \alpha \rangle\tag{4.4.24}$$

をコヒーレント状態と呼ぶ。式 (4.4.17) の $\hat a| n \rangle =\sqrt n| n-1 \rangle$ を項ごとに当てると、和の番号が1つずれて $\alpha$ が1つ前に出ることを確かめることができる。式 (4.4.11) と比べると、$\alpha$ は古典の複素振幅を $\sqrt\hbar$ で割った値で、

$$\alpha=\frac{z}{\sqrt\hbar}=\mathrm{i}\sqrt{\frac J\hbar}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta},\qquad \lvert \alpha\rvert ^2=\frac J\hbar\tag{4.4.25}$$

である。

中心は古典の軌道を回る

式 (4.4.12) から、$| \alpha \rangle$ での位置と運動量の期待値は

$$\langle \hat q \rangle =\frac{\ell}{\sqrt2}(\alpha+\alpha^*)=\sqrt{\frac{2\hbar}{m\omega}}\,\operatorname{Re}\alpha,\qquad \langle \hat p \rangle =\frac{\mathrm{i}\hbar}{\sqrt2\ell}(\alpha^*-\alpha)=\sqrt{2m\omega\hbar}\,\operatorname{Im}\alpha$$

で、古典の式 (4.4.5) に $z=\sqrt\hbar\,\alpha$ を入れたものと同じである。時間発展は、$| n \rangle$ が $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega(n+1/2)t}$ の位相を受け取るので

$$\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}| \alpha \rangle =\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t/2}\mathrm{e}^{-\lvert \alpha\rvert ^2/2}\sum_n\frac{(\alpha\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t})^n}{\sqrt{n!}}| n \rangle =\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t/2}| \alpha\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t} \rangle\tag{4.4.26}$$

となる。コヒーレント状態は時間がたってもコヒーレント状態のままで、ラベル $\alpha$ が古典の複素振幅と同じ $\alpha(t)=\alpha\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}$ に従って回る。

幅も変わらない。$\hat a| \alpha \rangle =\alpha| \alpha \rangle$ から $\langle \hat a^2 \rangle =\alpha^2$, $\langle \hat a^\dagger\hat a \rangle =\lvert \alpha\rvert ^2$ で、

$$(\Delta q)^2=\frac{\ell^2}{2}\Bigl(\langle (\hat a+\hat a^\dagger)^2 \rangle -(\alpha+\alpha^*)^2\Bigr)=\frac{\ell^2}{2}\langle \left[\hat a,\,\hat a^\dagger\right] \rangle =\frac{\ell^2}{2}$$

となり、同様に $(\Delta p)^2=\hbar^2/(2\ell^2)$ である。$\Delta q\,\Delta p=\hbar/2$ はどの時刻でも下限に等しい。コヒーレント状態は、基底状態 $| 0 \rangle$ と同じ形の Gauss 波束を、相空間の点 $(\langle \hat q \rangle ,\langle \hat p \rangle )$ に平行移動したもので、その中心が古典の楕円の上を回る。Hamiltonian が2次式なので、Ehrenfest の定理 $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\langle \hat q \rangle =\langle \hat p \rangle /m$, $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\langle \hat p \rangle =-m\omega^2\langle \hat q \rangle$ が閉じた方程式になり、期待値は古典の方程式に厳密に従う。非調和なポテンシャルでは $\langle V'(\hat q) \rangle \neq V'(\langle \hat q \rangle )$ となり、この一致は崩れる。

数と位相

式 (4.4.24) から、$| \alpha \rangle$ で $n$ を見いだす確率は

$$P(n)=\lvert \langle n | \alpha \rangle \rvert ^2=\mathrm{e}^{-\lvert \alpha\rvert ^2}\frac{\lvert \alpha\rvert ^{2n}}{n!}\tag{4.4.27}$$

で、平均 $\lvert \alpha\rvert ^2$ の Poisson 分布である。$\langle \hat n \rangle =\lvert \alpha\rvert ^2=J/\hbar$、標準偏差 $\Delta n=\lvert \alpha\rvert$ で、相対的な揺らぎ $\Delta n/\langle \hat n \rangle =1/\lvert \alpha\rvert$ は作用変数が大きいほど小さい。$n$ が確定した $| n \rangle$ は角変数（位相）がまったく決まらない状態で、$| \alpha \rangle$ は $n$ の幅 $\lvert \alpha\rvert$ と引き換えに位相の幅を約 $1/(2\lvert \alpha\rvert )$ まで狭めた状態である。$\lvert \alpha\rvert \to\infty$ で両方の相対的な幅が $0$ に近づき、古典の「$J$ も $\theta$ も決まった1点」に近づく。