この章で選ぶ $H$：調和振動子と複素振幅

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第4部 第4章 §4.4.1　★★★ 作用角変数 $(\theta,J)$ を複素数 $z=\mathrm{i}\sqrt J\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}$ にまとめると、$H=\omega\lvert z\rvert ^2$、運動は $z\propto\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}$ になる

調和振動子 $H=\frac{p^2}{2m}+\frac12m\omega^2q^2$ は、量子力学の中で最も多く使われる Hamiltonian である。分子の振動、結晶の格子振動（フォノン）、電磁場の1つのモード（光子）、ゲージ場の量子化まで、平衡点のまわりの小さな揺れはすべてこの形に帰着する。授業では、Schrödinger 方程式を級数で解いて Hermite 多項式を出すか、昇降演算子 $\hat a$, $\hat a^\dagger$ を天下りに定義して代数で解く。どちらの道でも答えは $E_n=\hbar\omega(n+\frac12)$ だが、なぜ $\hat a$ という組み合わせを作るのか、なぜ $\frac12$ が付くのかは説明されないことが多い。

この章では、第1部第14章（第1部第14章）で作った作用角変数 $(\theta,J)$ から出発する。古典の調和振動子では、相空間の点を複素数 $z=\mathrm{i}\sqrt J\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}$ 1つで表すと、Hamiltonian は $H=\omega\lvert z\rvert ^2=\omega J$、運動は $z(t)=z(0)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}$ になる。昇降演算子 $\hat a$ は、この $z$ を $\sqrt\hbar$ で割って演算子に置き換えたものにほかならない。Poisson 括弧 $\{z,z^*\}=-\mathrm{i}$ を交換子に移すと $\left[\hat a,\,\hat a^\dagger\right]=1$ が出て、そこから準位・波動関数・コヒーレント状態まで、すべてが代数で決まる。$\frac12$ は、古典では区別のなかった $z^*z$ と $zz^*$ が演算子では区別されることから現れる。

4.4.1節で古典の調和振動子を複素振幅で書き直し、4.4.2節で第4部第1章の正準量子化（第4部第1章）を当てる。4.4.3節から4.4.5節が「出てくるもの」で、エネルギー準位と作用変数の量子化、位置表示の波動関数と古典の分布の比較、古典の軌道をそのまま追うコヒーレント状態を順に扱う。4.4.6節では、級数解と Hermite 多項式、前期量子論の $\oint p\,\mathrm{d} q=nh$、行列要素と古典の Fourier 成分の対応を、この章の式と並べる。

選ぶ Hamiltonian

この章で選ぶのは、自由度1の調和振動子

$$H(q,p)=\frac{p^2}{2m}+\frac12m\omega^2q^2\tag{4.4.1}$$

である。古典の運動は第1部で何度も解いた。第1部第14章の結果をまとめておくと、作用変数 $J$ と角変数 $\theta$ を

$$q=\sqrt{\frac{2J}{m\omega}}\,\sin\theta,\qquad p=\sqrt{2m\omega J}\,\cos\theta\tag{4.4.2}$$

で定めると、$H=\omega J$、$\{\theta,J\}=1$、運動は $J$ 一定・$\theta=\omega t+\theta_0$ になる。$J=E/\omega$ は相空間の楕円の面積を $2\pi$ で割ったものだった。

複素振幅

式 (4.4.2) の $q$ と $p$ は、楕円を円に引き伸ばしたときの直交座標になっている。そこで2つを1つの複素数にまとめ、

$$z=\frac{m\omega q+\mathrm{i} p}{\sqrt{2m\omega}}\tag{4.4.3}$$

と定める。この $z$ を複素振幅と呼ぶ。係数は $\lvert z\rvert ^2$ がちょうど作用変数になるように選んである。実際、

$$\lvert z\rvert ^2=z^*z=\frac{m^2\omega^2q^2+p^2}{2m\omega}=\frac{H}{\omega}=J$$

であり、式 (4.4.2) を入れると

$$z=\frac{m\omega\sqrt{2J/(m\omega)}\sin\theta+\mathrm{i}\sqrt{2m\omega J}\cos\theta}{\sqrt{2m\omega}}=\sqrt J\,(\sin\theta+\mathrm{i}\cos\theta)=\mathrm{i}\sqrt J\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}\tag{4.4.4}$$

となる。$z$ の絶対値の2乗が作用変数、偏角が（定数 $\pi/2$ を除いて）角変数の符号を変えたものである。逆向きには

$$q=\sqrt{\frac{2}{m\omega}}\,\operatorname{Re} z,\qquad p=\sqrt{2m\omega}\,\operatorname{Im} z\tag{4.4.5}$$

で戻る。

Poisson 括弧と運動

$z$ と $z^*$ の Poisson 括弧を計算する（第1部第11章）。$\{q,p\}=1$ と括弧の双線形性から

$$\{z,z^*\}=\frac{1}{2m\omega}\{m\omega q+\mathrm{i} p,\;m\omega q-\mathrm{i} p\}=\frac{1}{2m\omega}\bigl(-\mathrm{i} m\omega\{q,p\}+\mathrm{i} m\omega\{p,q\}\bigr)=-\mathrm{i}\tag{4.4.6}$$

である。$z$ と $z^*$ は、実の正準変数の組 $(q,p)$ を複素数の組に組み替えたもので、括弧が $1$ でなく $-\mathrm{i}$ になる。

時間発展は $\dot z=\{z,H\}$ で、$H=\omega zz^*$ と括弧の Leibniz 則から

$$\dot z=\omega\{z,zz^*\}=\omega z\{z,z^*\}=-\mathrm{i}\omega z,\qquad z(t)=z(0)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\tag{4.4.7}$$

となる。$q$ と $p$ の連立微分方程式が、1つの複素数の1階の方程式になった。$z$ は複素平面の原点のまわりを角速度 $\omega$ で時計回りに回り、絶対値 $\sqrt J$ は変わらない。式 (4.4.4) の $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}$ と比べれば、これは $\theta=\omega t+\theta_0$ と同じことを言っている。

$J$ は角をずらす生成子

第1部第9章（第1部第9章）の言葉で言い直すと、量 $G$ を生成子とする無限小変換は $\delta A=\epsilon\{A,G\}$ だった。$G=J=zz^*$ を生成子に選ぶと

$$\delta z=\epsilon\{z,J\}=\epsilon z\{z,z^*\}=-\mathrm{i}\epsilon z,\qquad \delta\theta=\epsilon\{\theta,J\}=\epsilon\tag{4.4.8}$$

で、$J$ は角変数を $\epsilon$ だけ進める変換、つまり相空間の楕円に沿った回転を生成する。$H=\omega J$ なので、時間発展（生成子 $H$、$\epsilon=\mathrm{d} t$）は角を $\omega\,\mathrm{d} t$ だけ進める回転である。調和振動子の時間発展が「相空間の回転」であることと、「$J$ が回転の生成子」であることは同じ内容を述べている。この関係は量子力学でもそのまま残る（4.4.2節）。