この章で作る道具：作用変数と角変数

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第14章 §1.14.1　★★★ 周期運動の軌道が囲む面積を $2\pi$ で割ったものを運動量に、軌道の上の位置を角度にとる

周期運動をする系では、相空間の軌道は閉じた曲線になる。前の章（第1部第13章）では、その曲線に沿った積分 $\oint p\,\mathrm{d} q$ が軌道の囲む面積で、エネルギーで微分すると周期になることを見た。この章では、この面積を $2\pi$ で割った量

$$J=\frac{1}{2\pi}\oint p\,\mathrm{d} q$$

を新しい運動量に選ぶ正準変換を作る。新しい座標は1周で $2\pi$ だけ増える角度 $\theta$ になり、運動は「$J$ は一定、$\theta$ は一定の速さで増える」という最も簡単な形に書き直される。この組 $(\theta,J)$ を作用角変数と呼ぶ。

作用角変数を作る価値は、運動を解くこと自体よりも、系のパラメータ（振り子の糸の長さ、ばね定数、箱の幅）をゆっくり変えたときにはっきりする。パラメータを変えるとエネルギーも周期も変わるが、$J$ だけはほとんど変わらない。このように、ゆっくりした変化のもとでほぼ一定に保たれる量を断熱不変量と呼ぶ。$J$ が断熱不変量であることは、量子力学では「ゆっくり変えても量子数が変わらない」こと（Bohr–Sommerfeld の量子化条件 $J=(n+\frac12)\hbar$ と断熱定理）に対応し、統計力学では「ゆっくり圧縮した気体の状態の数が変わらない」こと（断熱変化でエントロピーが一定）に対応する。

1.14.1節で作用変数と角変数を定義し、調和振動子で具体的な形を書く。1.14.2節では前の章の特性関数 $W(q)$ を母関数に使って、$(\theta,J)$ が正準変数になること、角変数が1周で $2\pi$ 増えること、$\dot\theta$ が周期から決まることを示す。1.14.3節から1.14.5節が「出てくるもの」で、断熱不変量の主張とその理由、長さを変える振り子の数値積分による確認、量子化の条件と箱の断熱圧縮を順に扱う。1.14.6節では、糸の張力のする仕事から振幅の変化を出す初等的な計算、前期量子論の $\oint p\,\mathrm{d} q=nh$、熱力学の $PV^{5/3}=$ 一定、磁場中の荷電粒子の磁気モーメントの保存を、この章の式と並べる。

この章では自由度1の系だけを扱う。自由度が2以上の系で作用角変数を作ることができるのは、保存量が自由度と同じ数だけあって変数が分離できる場合（可積分系）に限られ、その一般論は、定理 1.14.2 の後の箱で要点だけ述べる。

周期運動と相空間の閉曲線

自由度1で、Hamiltonian $H(q,p)$ が時刻を含まない系を考える。エネルギー $E$ が保存するので、運動は相空間の等エネルギー線 $H(q,p)=E$ の上に限られる。この線が有界な閉曲線になるとき、運動は周期的である。ポテンシャルの谷を左右の転回点の間で往復する運動（秤動）がその典型で、調和振動子・振り子の小さな振れ・箱の中の粒子がこれにあたる。振り子が上を越えて回り続ける運動（回転）では、等エネルギー線は閉じないが、角度を $2\pi$ ごとに同じ点とみなせば、やはり1周で元に戻る曲線になる（第1部第8章の振り子の相図）。

どちらの場合も、1周のあいだに相空間の曲線に沿って $p\,\mathrm{d} q$ を積分した量が定まる。秤動ならこれは閉曲線の囲む面積で、運動の向き（$q$ を横軸、$p$ を縦軸にとると時計回り）に沿って積分すると正になる。

$J$ の次元は作用（エネルギー×時間、運動量×長さ）で、$\hbar$ と同じである。$2\pi$ で割るのは、後で角変数の周期を $2\pi$ にそろえるためで、この本の流儀（Landau–Lifshitz と同じ）である。$2\pi$ で割らずに $\oint p\,\mathrm{d} q$ そのものを作用変数と呼ぶ教科書もあり、その対応は1.14.6節で述べる。

前の章の式から、$J$ をエネルギーで微分すると周期 $T$ が出る。前の章の結果は、周期が等エネルギー線の囲む面積の $E$ 微分 $T=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} E}\oint p\,\mathrm{d} q$ になることだった。これを $J$ で書けば

$$\frac{\mathrm{d} J}{\mathrm{d} E}=\frac{T}{2\pi}>0\tag{1.14.2}$$

である。$J$ は $E$ の増加関数なので、逆に解いて $E$ を $J$ の関数として $E=H(J)$ と書くことができる。この関数 $H(J)$ が、作用角変数での Hamiltonian になる。

作用角変数の主張

証明は1.14.2節で前の章の特性関数を使って行う。ここでは主張の意味を確かめる。$J$ は等エネルギー線を1本選ぶ量（どの楕円の上にいるか）で、$\theta$ はその線の上のどこにいるかを角度で表す量である。運動はこの「線の上を一定の角速度で回る」という形に書き直される。角速度が一定になるように $\theta$ の目盛りを選んである点が要所で、もとの $q$ では線の上を回る速さは場所によって違う（転回点の近くでは遅い）。

可積分性と Liouville–Arnold の定理は、詳しくは基礎理論『物理のための微分幾何入門』第14章 §14.6 で扱う。

調和振動子

$H=\frac{p^2}{2m}+\frac12m\omega^2q^2$ の等エネルギー線は半軸 $\sqrt{2E/(m\omega^2)}$ と $\sqrt{2mE}$ の楕円で、その面積は $2\pi E/\omega$ だった（前の章）。よって

$$J=\frac{E}{\omega},\qquad H(J)=\omega J,\qquad \frac{\partial H}{\partial J}=\omega .\tag{1.14.4}$$

作用角変数での角振動数はもとの $\omega$ に一致する。楕円の上の位置を角度 $\theta$ で表すと、$J$ と $\theta$ から $q$ と $p$ は

$$q=\sqrt{\frac{2J}{m\omega}}\,\sin\theta,\qquad p=\sqrt{2m\omega J}\,\cos\theta\tag{1.14.5}$$

で戻る。代入すると $H=\omega J(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=\omega J$ になり、$\theta=\omega t+\theta_0$ を入れれば $q=A\sin(\omega t+\theta_0)$ という見慣れた解が出る。逆向きには

$$J=\frac{p^2}{2m\omega}+\frac{m\omega q^2}{2},\qquad \tan\theta=\frac{m\omega q}{p}\tag{1.14.6}$$

である。この変換が正準であることは、Poisson 括弧 $\{\theta,J\}=1$ で確かめられる（第1部第11章）。$\theta=\arctan(m\omega q/p)$ と $J$ の偏微分を計算すると

$$\{\theta,J\}=\frac{\partial \theta}{\partial q}\frac{\partial J}{\partial p}-\frac{\partial \theta}{\partial p}\frac{\partial J}{\partial q} =\frac{m\omega p}{p^2+m^2\omega^2q^2}\cdot\frac{p}{m\omega}+\frac{m\omega q}{p^2+m^2\omega^2q^2}\cdot m\omega q=1$$

となる。同じことを母関数で言えば、$F_1(q,\theta)=\frac12m\omega q^2\cot\theta$ から $p=\partial F_1/\partial q$, $J=-\partial F_1/\partial\theta$ として式 (1.14.5) が出る（第1部第12章の母関数の型。章末の総合問題 (1)）。

図 1.14.1 の左に、この楕円と作用角変数の関係を描いた。$\theta$ は $p$ 軸の正の向きから時計回りに測った「楕円の上の角度」だが、楕円を円に引き伸ばしてから測った角度なので、図の上の幾何学的な角度とは一致しない。