出てくるもの (1)：断熱不変量

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第14章 §1.14.3　★★★ パラメータを周期に比べてゆっくり変えると、エネルギーも周期も変わるが、作用変数 $J$ はほとんど変わらない

ゆっくり変わるパラメータ

Hamiltonian が外から操作できるパラメータ $\lambda$ を含む系 $H(q,p;\lambda)$ を考える。振り子の糸の長さ、ばね定数、箱の幅がその例である。$\lambda$ を一定にしておけば運動は周期的で、作用角変数 $(\theta,J)$ が前節の方法で作ることができる。ここで $\lambda$ を時間とともに変える。変え方が「ゆっくり」であるとは、1周期のあいだの $\lambda$ の相対的な変化が小さいこと、すなわち

$$\epsilon\coloneqq T\,\frac{\lvert \dot\lambda\rvert }{\lambda}\ll1\tag{1.14.11}$$

をいう。$\epsilon$ はこの章でだけ使う小さいパラメータで、$\lambda$ が大きく（$\mathcal{O}(1)$ の割合で）変わるまでにかかる時間は周期の $1/\epsilon$ 倍ほどになる。$H$ が時刻を含むのでエネルギーは保存しない。$\lambda$ を変える操作が系に仕事をする。

この主張の数学としての証明（どの条件で、どの時間の範囲まで成り立つか）は第V巻の平均化定理の仕事で、ここでは理由の筋道を示す。

理由：$\dot J$ は角度について平均すると $0$

各時刻の $\lambda$ で作った母関数 $W(q,J;\lambda)$ を使って、時刻ごとに $(q,p)$ を $(\theta,J)$ へ変換する。$\lambda$ が時刻とともに変わるので、母関数は時刻を含み、新しい Hamiltonian に $\partial F_2/\partial t$ が足される（第1部第12章）。

$$K(\theta,J,t)=H(J;\lambda)+\dot\lambda\,\Lambda(\theta,J;\lambda),\qquad \Lambda\coloneqq\Bigl(\frac{\partial W}{\partial \lambda}\Bigr)_{q,J}.\tag{1.14.12}$$

$\Lambda$ は $q$ と $J$ を止めて $\lambda$ で微分した $W$ を、$\theta$ と $J$ で書き直したものである。$J$ の Hamilton 方程式は

$$\dot J=-\frac{\partial K}{\partial \theta}=-\dot\lambda\,\frac{\partial \Lambda}{\partial \theta}\tag{1.14.13}$$

となる。右辺は $\dot\lambda$ に比例するので小さいが、$0$ ではない。$J$ は1周期のあいだに $\mathcal{O}(\epsilon J)$ だけ揺れる。

要点は、$\Lambda$ が $\theta$ について周期 $2\pi$ の関数であることである。$q$ が1周して同じ点に戻ると $W$ は $\oint p\,\mathrm{d} q=2\pi J$ だけ増えるが、この増え方は $J$ だけで決まり $\lambda$ によらない。したがって $W$ を $\lambda$ で微分した $\Lambda$ は、1周で元の値に戻る。周期関数の導関数 $\partial\Lambda/\partial\theta$ は、$\theta$ について1周平均すると $0$ になる。

1周期のあいだ $\dot\lambda$ はほとんど一定で、$\theta$ は一定の速さ $\omega$ で $2\pi$ だけ進むので、式 (1.14.13) を1周期にわたって積分すると

$$\Delta J_{1\text{周}}\approx-\frac{\dot\lambda}{\omega}\int_0^{2\pi}\frac{\partial \Lambda}{\partial \theta}\,\mathrm{d}\theta=0$$

となる。$\dot\lambda$ の1次の大きさでは、1周ごとの $J$ の変化が打ち消し合う。残るのは $\dot\lambda$ の2次の大きさ（$\dot\lambda$ が1周期のあいだに変わる分と、$\theta$ の進み方が一様からずれる分）で、1周あたり $\mathcal{O}(\epsilon^2J)$ である。$\lambda$ が $\mathcal{O}(1)$ 変わるまでの周回数は $1/\epsilon$ ほどなので、積み重なっても $\mathcal{O}(\epsilon J)$ にしかならない。これが定理 1.14.3 の中身である。一方、エネルギーは $\dot E=\partial H/\partial t=\dot\lambda\,\partial H/\partial\lambda$ で変わり、右辺の平均は一般に $0$ でないので、$\lambda$ が $\mathcal{O}(1)$ 変わるあいだに $E$ も $\mathcal{O}(1)$ の割合で変わる。

調和振動子では式で見える

ばね定数をゆっくり変える調和振動子 $H=\frac{p^2}{2m}+\frac12m\omega(t)^2q^2$ では、$\dot J$ を母関数を使わずに直接計算することができる。$J=H/\omega$ を時間で微分し、Hamilton 方程式 $\dot q=p/m$, $\dot p=-m\omega^2q$ を使うと、$H$ の時間変化は $\partial H/\partial t=m\omega\dot\omega q^2$ だけなので

$$\dot J=\frac{m\omega\dot\omega q^2}{\omega}-\frac{H\dot\omega}{\omega^2} =\frac{\dot\omega}{\omega}\bigl(m\omega q^2-J\bigr).$$

式 (1.14.5) の $m\omega q^2=2J\sin^2\theta$ を入れると

$$\dot J=-\frac{\dot\omega}{\omega}\,J\cos2\theta\tag{1.14.14}$$

を得る。右辺は $\cos2\theta$ に比例し、$\theta$ について平均すると $0$ である。式 (1.14.13) と比べると $\Lambda=\frac{J}{2\omega}\sin2\theta$ で、実際に $(\partial W/\partial\omega)_{q,J}$ を計算するとこの形になる。$\Lambda$ は $\theta$ について周期的で、新しい Hamiltonian は$K=\omega J+\frac{\dot\omega}{2\omega}J\sin2\theta$ である。$J$ は $\cos2\theta$ で揺れながら、平均としては一定にとどまる。$J=E/\omega$ が一定なので、ゆっくりばね定数を変えると、エネルギーは角振動数に比例して変わる。振幅 $\sqrt{2J/(m\omega)}$ は $\omega^{-1/2}$ に比例する。