出てくるもの (2)：長さをゆっくり変える振り子

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第14章 §1.14.4　★★ 糸を引き上げて振り子を短くすると振幅が $l^{-3/4}$ で増える。数値積分で $J$ が保たれることと、速く変えると保たれないことを確かめる

振り子の $H$ と作用変数

支点から長さ $l$ の糸で質量 $m$ のおもりをつるし、糸を支点の穴から引き上げて長さを $l(t)$ と時間とともに変える。鉛直下向きからの振れの角を $\varphi$ とする（この章では $\theta$ を角変数に使うので、振り子の角度には $\varphi$ を使う）。おもりの速度の2乗は $\dot l^2+l^2\dot\varphi^2$ なので

$$L=\frac12m\bigl(\dot l^2+l^2\dot\varphi^2\bigr)+mgl\cos\varphi .$$

$l(t)$ は与えられた関数なので、$\frac12m\dot l^2$ は時刻だけの関数で、Euler–Lagrange 方程式に寄与しない（時刻だけの関数は、ある関数の時間微分として書けるので第1部第5章の「$L$ に全微分を足しても運動は変わらない」という結果をそのまま使う）。これを落とすと、$p=ml^2\dot\varphi$ と

$$H(\varphi,p;l)=\frac{p^2}{2ml^2}-mgl\cos\varphi\tag{1.14.15}$$

を得る。$l$ を止めればこれは第1部第8章の振り子そのもので、$l$ がパラメータ $\lambda$ にあたる。運動方程式は $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}(ml^2\dot\varphi)=-mgl\sin\varphi$、すなわち $l\ddot\varphi+2\dot l\dot\varphi+g\sin\varphi=0$ である。

振れが小さければ $\cos\varphi\approx1-\varphi^2/2$ で、$H$ は定数 $-mgl$ を除いて質量 $ml^2$・角振動数 $\omega=\sqrt{g/l}$ の調和振動子になる。振れの振幅を $\varphi_{\mathrm{max}}$ とすると、振動のエネルギーは $E_{\mathrm{osc}}=\frac12mgl\varphi_{\mathrm{max}}^2$ なので

$$J=\frac{E_{\mathrm{osc}}}{\omega}=\frac12m\sqrt g\,l^{3/2}\varphi_{\mathrm{max}}^2 .\tag{1.14.16}$$

$J$ が一定なら

$$\varphi_{\mathrm{max}}\propto l^{-3/4},\qquad E_{\mathrm{osc}}=\omega J\propto l^{-1/2}\tag{1.14.17}$$

となる。糸をゆっくり引き上げて振り子を短くすると、振れの角は大きくなり、振動のエネルギーも増える。引き上げる手が、糸の張力に逆らって仕事をするためである（その仕事を直接数える計算は1.14.6節）。

振れが大きいときも $J$ は正確に計算することができる。$H=E$ の等エネルギー線の面積を楕円積分で書くと、$k=\sin(\varphi_{\mathrm{max}}/2)$ として

$$J=\frac{8}{\pi}m\sqrt{gl^3}\,\bigl[\mathrm{E}(k)-(1-k^2)\mathrm{K}(k)\bigr]$$

になる（$\mathrm K$, $\mathrm E$ は第1種・第2種の完全楕円積分）。$k\to0$ で $\mathrm E-(1-k^2)\mathrm K\approx\frac{\pi}{4}k^2$ となって式 (1.14.16) に戻る。数値積分では、各時刻の $(\varphi,p)$ と $l$ からエネルギーを出し、この式（または面積の数値積分）で $J$ を計算して追う。

数値積分の結果

$m=g=1$ とし、長さを $l=1$ から $l=1/4$ まで、$l(t)=1-\frac34\cdot\frac12\bigl(1-\cos(\pi t/t_{\mathrm s})\bigr)$（$0\le t\le t_{\mathrm s}$）と滑らかに変える。初めの振幅は $\varphi_{\mathrm{max}}=0.1$、初めの周期は $T=2\pi\sqrt{l/g}\approx6.28$ である。変える時間 $t_{\mathrm s}$ を $100$（ゆっくり。$T/t_{\mathrm s}\approx0.06$）と$3$（速い。$T/t_{\mathrm s}\approx2$）の2通りにとり、運動方程式を数値で積分して $J$ を追った結果が図 1.14.2 である。

ゆっくり変えた場合、$J$ は式 (1.14.14) と同じ形で1周期ごとに揺れるが、揺れは $\pm1.2\%$ ほどで、長さを変え終わった後の $J$ は初めの値と $2\times10^{-5}$ の差しかない。エネルギー $E_{\mathrm{osc}}$ はこの間に $\sqrt4=2$ 倍になっているので、$J$ が保たれているのはエネルギーが保たれているのとはまったく別のことである。速く変えた場合は、$J$ は変える途中で $1.95$ 倍まで動き、変え終わった後も $1.27$ 倍が残る。このときの値は、変え始めたときの振り子の位相によって変わる。

振幅の変化を長さの関数として描いたのが図 1.14.3 である。ゆっくり変えた数値積分の振幅は、式 (1.14.17) の $\varphi_{\mathrm{max}}=0.1\,l^{-3/4}$ に沿って増え、長さ $1/4$ では $0.1\times4^{3/4}=0.283$ に対して数値は $0.2834$ になる。わずかな差は、振幅 $0.28$ では $\cos\varphi\approx1-\varphi^2/2$ の近似の誤差が見え始めるためで、正確な $J$ の式で計算した予測とは数値の桁まで一致する。