授業で習った形との対応

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第14章 §1.14.6　★★ 張力の仕事による初等的な計算・前期量子論の $\oint p\,\mathrm{d} q=nh$・熱力学の断熱変化・磁気モーメントの保存は、どれも $J$ が一定という1つの式の別の姿

糸の張力がする仕事から振幅を出す

振り子の糸を引き上げると振幅が増えることは、解析力学を使わずに、張力のする仕事を数えても出すことができる。おもりのエネルギー（支点を基準にした位置エネルギーを含む）$E_{\mathrm{tot}}=\frac12ml^2\dot\varphi^2-mgl\cos\varphi$ は、糸の張力 $T_{\mathrm{str}}$ がおもりにする仕事だけ変わる。張力は糸に沿って支点の向きに働き、糸の長さが $\mathrm{d} l$ 変わるときおもりは糸の向きに $\mathrm{d} l$ 動くので、$\mathrm{d} E_{\mathrm{tot}}=-T_{\mathrm{str}}\,\mathrm{d} l$ である。張力は振り子の振れによって変わり、運動方程式の糸の向きの成分から $T_{\mathrm{str}}=mg\cos\varphi+ml\dot\varphi^2$ である。小振動 $\varphi=\varphi_{\mathrm{max}}\cos\omega t$ で1周期平均すると

$$\overline{T_{\mathrm{str}}}=mg\Bigl(1-\frac{\varphi_{\mathrm{max}}^2}{4}\Bigr)+ml\omega^2\frac{\varphi_{\mathrm{max}}^2}{2}=mg\Bigl(1+\frac{\varphi_{\mathrm{max}}^2}{4}\Bigr)$$

になる。$E_{\mathrm{tot}}\approx-mgl+E_{\mathrm{osc}}$ と分けると、$-mgl$ の変化 $-mg\,\mathrm{d} l$ は張力の $mg$ の部分の仕事で打ち消され、振動のエネルギーについては

$$\mathrm{d} E_{\mathrm{osc}}=-mg\frac{\varphi_{\mathrm{max}}^2}{4}\,\mathrm{d} l=-\frac{E_{\mathrm{osc}}}{2l}\,\mathrm{d} l$$

が残る（$E_{\mathrm{osc}}=\frac12mgl\varphi_{\mathrm{max}}^2$ を使った）。積分すると $E_{\mathrm{osc}}\propto l^{-1/2}$ で、式 (1.14.17) と同じ結果になる。初等的な計算では「振動している分だけ張力が平均として重くなる」ことを数え、この章では「$J$ が保たれる」の1行で済ませている。初等的な計算は振り子ごとに張力の式を作り直す必要があるが、$J$ の議論はどの周期運動にもそのまま使うことができる。

前期量子論の $\oint p\,\mathrm{d} q=nh$

学部の量子力学の導入（前期量子論）では、量子化の条件を

$$\oint p\,\mathrm{d} q=nh\qquad(n=1,2,\dots)$$

と書くことが多い。この本の作用変数では $\oint p\,\mathrm{d} q=2\pi J$、$h=2\pi\hbar$ なので、これは $J=n\hbar$ にあたる。式 (1.14.18) の $J=(n+\frac12)\hbar$ との違い $\frac12$ は、前期量子論では波動関数の転回点での位相のずれを数えていなかったことによる。$n$ が大きい所では $\frac12$ の違いは相対的に小さく、両者は一致していく。また、作用変数を $J_{\mathrm G}=\oint p\,\mathrm{d} q$（$2\pi$ で割らない）と定義する教科書では、角変数の周期が $1$ になり、角変数の速さは振動数 $\nu=\partial H/\partial J_{\mathrm G}=\omega/(2\pi)$ になる。調和振動子なら $H=\nu J_{\mathrm G}=\omega J$ で、同じ式を別の目盛りで書いたものである。

熱力学の断熱変化

熱力学の授業では、単原子理想気体の断熱変化を、第一法則 $\mathrm{d} U=-P\,\mathrm{d} V$（熱の出入りが無い）と状態方程式・内部エネルギーの式 $U=\frac32PV$ から$\frac32(P\,\mathrm{d} V+V\,\mathrm{d} P)=-P\,\mathrm{d} V$、すなわち $\frac{\mathrm{d} P}{P}=-\frac53\frac{\mathrm{d} V}{V}$ として $PV^{5/3}=$ 一定を導く。この章の式 (1.14.21) は、同じ結果を各粒子の $J$ が保たれることから出した。熱力学の「熱の出入りが無いゆっくりした変化」が、力学の「パラメータをゆっくり変える」にあたり、$U=\frac32PV$ は式 (1.14.21) の $PV=\frac23E$ と同じ式である。熱力学で断熱変化を「エントロピー一定」と呼ぶことと、相空間の体積（状態の数）が保たれることの関係は第3部第5章で扱う。

磁場中の荷電粒子と磁気モーメント

電磁気学やプラズマの授業では、ゆっくり変わる磁場の中を進む荷電粒子について「磁気モーメント $mv_\perp^2/(2B)$ が保存する」と教わることがある（$v_\perp$ は磁場に垂直な速度の大きさ）。これも作用変数の断熱不変性である。一様な磁場 $B$ の中で電荷 $e>0$・質量 $m$ の粒子は磁場に垂直な面で円運動（角振動数 $\omega_{\mathrm c}=eB/m$、半径 $r=mv_\perp/(eB)$）をする。この円運動の作用変数を、正準運動量 $\bm{p}=m\bm{v}+e\bm{A}$（第2部第2章）で計算すると、$\oint m\bm{v}\cdot\mathrm{d}\bm{r}=2\pi mv_\perp r$ と$\oint e\bm{A}\cdot\mathrm{d}\bm{r}=-eB\pi r^2=-\pi mv_\perp r$（正電荷は磁場の向きから見て時計回りに回り、Stokes の定理で囲む磁束の符号が負になる）の和から

$$J=\frac{1}{2\pi}\oint\bm{p}\cdot\mathrm{d}\bm{r}=\frac{mv_\perp r}{2}=\frac{m}{e}\cdot\frac{mv_\perp^2}{2B}$$

となる。$m/e$ は定数なので、$J$ が保たれることは磁気モーメント $mv_\perp^2/(2B)$ が保たれることと同じである。粒子が1回転するあいだに感じる磁場の変化が小さければ（磁場の変化の距離が旋回の半径に比べて長ければ）、粒子が磁場の強い所へ進んでも $v_\perp^2/B$ が一定に保たれる。