この章のまとめ

(1) $p=\frac{\partial F_1}{\partial q}=m\omega q\cot\theta$、$J=-\frac{\partial F_1}{\partial \theta}=\dfrac{m\omega q^2}{2\sin^2\theta}$。2つ目から $q=\sqrt{2J/(m\omega)}\sin\theta$（符号は $\sin\theta$ と同じ向きにとる）、1つ目に入れて $p=m\omega\sqrt{2J/(m\omega)}\sin\theta\cdot\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}=\sqrt{2m\omega J}\cos\theta$。式 (1.14.5) と同じ。$F_1$ は時刻を含まないので新しい Hamiltonian は $H$ をそのまま書き直したもので、$\frac{2m\omega J\cos^2\theta}{2m}+\frac12m\omega^2\frac{2J}{m\omega}\sin^2\theta=\omega J$。

(2) 等エネルギー線は半軸 $\sqrt{2E/(m\omega^2)}$, $\sqrt{2mE}$ の楕円で、面積は $\pi\cdot\sqrt{2E/(m\omega^2)}\cdot\sqrt{2mE}=2\pi E/\omega$。よって $J=E/\omega$、$H(J)=\omega J$、$\mathrm{d} H/\mathrm{d} J=\omega$。角変数は角速度 $\omega$ で1周 $2\pi$ 進むので周期は $2\pi/\omega$ で、前の章の $T=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} E}\oint p\,\mathrm{d} q=2\pi/\omega$ と一致する。

(3) $J=J_0$ が保たれるので、変えた後のエネルギーは $2\omega_0J_0=2E_0$。振幅 $A=\sqrt{2J/(m\omega)}$ は $\omega^{-1/2}$ に比例するので $A_0/\sqrt2$。ばねを硬くすると、振動は小さく速くなり、エネルギーは増える。

(4) 一瞬の変化では、変える前後で $q$ と $p$ は同じ値をとる。変える前は $p^2/(2m)=E_0\cos^2\theta$, $\frac12m\omega_0^2q^2=E_0\sin^2\theta$ なので、変えた後のエネルギーは$E'=E_0\cos^2\theta+4E_0\sin^2\theta$、作用変数は

$$J'=\frac{E'}{2\omega_0}=J_0\Bigl(\frac12\cos^2\theta+2\sin^2\theta\Bigr).$$

最小値は $\theta=0$（$q=0$ を通過する瞬間）の $J_0/2$、最大値は $\theta=\pi/2$（転回点）の $2J_0$。$\theta$ について平均すると $\overline{\cos^2\theta}=\overline{\sin^2\theta}=\frac12$ から$\overline{J'}=\frac54J_0$。一般に $\omega_0\to r\omega_0$ なら $\overline{J'}=\frac12\bigl(r+\frac1r\bigr)J_0\ge J_0$ で、等号は $r=1$ のときだけである。初めにエネルギー $E_0$ の楕円の上に一様に並べた点の集まりは、一瞬の変化では動かないので、その面積 $2\pi J_0$ は保たれる（第1部第8章）。しかしこの楕円は新しい $H$ の等エネルギー線ではないので、各点は $J_0/2$ から $2J_0$ までの別々の新しい軌道に乗り、平均の $J$ は増える。ゆっくり変えた場合はどの点も $J_0$ のまま新しい楕円に移る。

(5) ゆっくり変えれば量子数は $n=0$ のままで、エネルギーは $\frac12\hbar\cdot2\omega_0=\hbar\omega_0$（初めの $\frac12\hbar\omega_0$ の2倍で、(3) と同じ割合）。一瞬で変えると状態は変わらないので、新しい Hamiltonian $\hat H'=\frac{\hat p^2}{2m}+\frac12m(2\omega_0)^2\hat q^2$ の期待値は

$$\langle \hat H' \rangle =\frac{m\hbar\omega_0}{2\cdot2m}+2m\omega_0^2\cdot\frac{\hbar}{2m\omega_0}=\frac{\hbar\omega_0}{4}+\hbar\omega_0=\frac54\hbar\omega_0 .$$

これを新しい角振動数 $2\omega_0$ で割った $\langle \hat H' \rangle /(2\omega_0)=\frac58\hbar$ は、初めの $J_0=\frac12\hbar$ の $\frac54$ 倍で、(4) の古典の平均 $\frac54J_0$ と同じ比になる。エネルギーの期待値は新しい基底状態のエネルギー $\hbar\omega_0$ より $\frac14\hbar\omega_0$ 高く、一瞬の変化で一部の確率が励起状態へ移ったことを表している。