この章で選ぶもの：同じ $H$ と、位相を $\hbar$ で展開すること

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第4部 第7章 §4.7.1　★★★ Schrödinger 方程式に $\psi=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\sigma/\hbar}$ を入れると、複素数の位相 $\sigma$ の厳密な方程式（Riccati 型）になる。$\sigma$ を $\hbar/\mathrm{i}$ の冪で展開する

第1部第13章では、波動関数を $\psi=A\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar}$（$A$, $S$ は実数）と書くと Schrödinger 方程式が「量子の補正つきの Hamilton–Jacobi 方程式」と「連続の式」の2本に厳密に分かれ、補正の項 $\hbar^2A''/(2mA)$ を落とした極限で古典の Hamilton–Jacobi 方程式に戻ることを示した（第1部第13章）。第1部第14章では、作用変数 $J=\frac{1}{2\pi}\oint p\,\mathrm{d} q$ に Bohr–Sommerfeld の条件 $J=(n+\frac12)\hbar$ を課すとエネルギー準位が出ることを、結果だけ使った（第1部第14章）。この2つの章で後回しにしたものが3つある。転回点で振幅 $A\propto p^{-1/2}$ が発散する問題、$\frac12$ がどこから出るのかという問題、そして古典的には入れない領域（$E<V$）で波動関数が何をしているのかという問題である。

この章では、同じ1粒子の Hamiltonian $H=p^2/(2m)+V(x)$ を選び、Schrödinger 方程式を $\hbar$ の冪で展開する WKB 近似を、第1部の道具を当てる形で組み立て直す。最低次は Hamilton–Jacobi 方程式そのもので、位相は特性関数 $W(x,E)$ になる。次の次数は確率の流れの保存で、振幅は古典の粒子がその場所に滞在する時間の平方根になる。転回点での破綻は、相空間の曲線 $H(x,p)=E$ を $x$ 軸に射影するときだけ起きる見かけの特異点であり、運動量表示へ移れば消える。運動量表示から位置表示へ戻す Fourier 変換を停留位相で評価すると、位相の関数は Legendre 変換で移り変わり、転回点ごとに $-\pi/2$ の位相が残る。この位相を1周分数えたものが Bohr–Sommerfeld の条件の $\frac12$ であり、壁があれば $\frac34$ や $1$ に変わる。最後に、古典的に入れない領域では運動量が虚数になり、トンネルの確率の指数は「虚数の時間の中の古典運動」の作用で決まることを示す。

この章では WKB の数学的な正当化（漸近展開としての意味・Airy 関数による接続の導出）を繰り返さず、第V巻（近似の数理 第7章）へ送る。この章では、そこで出てくる式の1つ1つが解析力学のどの量なのかを示す。

選ぶ Hamiltonian

選ぶのは、第1部から使ってきた1自由度の Hamiltonian

$$H(x,p)=\frac{p^2}{2m}+V(x)\tag{4.7.1}$$

である。この章では1次元の座標を $x$ と書く。量子化は第4部第1章の規則どおり $\hat p=-\mathrm{i}\hbar\,\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}$ とし（第4部第1章）、エネルギー $E$ の定常状態 $\psi(x,t)=\psi(x)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} Et/\hbar}$ を考えると、

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi''(x)+V(x)\,\psi(x)=E\,\psi(x)\tag{4.7.2}$$

を解く問題になる。古典的に入れる領域（$E>V(x)$）での局所的な運動量を

$$p(x)=\sqrt{2m\bigl(E-V(x)\bigr)}>0\tag{4.7.3}$$

と書く。これは古典の粒子がエネルギー $E$ で位置 $x$ を通るときの運動量の大きさで、等エネルギーの曲線 $H(x,p)=E$ の上側の枝に当たる。

位相の厳密な方程式

$\psi$ がどこでも 0 にならない範囲で、$\psi(x)=\exp\bigl(\mathrm{i}\sigma(x)/\hbar\bigr)$ と書く。ここで $\sigma$ は複素数の値を取る関数で、実部が位相を、虚部が振幅の対数を受け持つ。$\psi'=(\mathrm{i}\sigma'/\hbar)\psi$、$\psi''=\bigl((\mathrm{i}\sigma'/\hbar)^2+\mathrm{i}\sigma''/\hbar\bigr)\psi$ を式 (4.7.2) に入れて $2m\psi$ で割ると、

$$(\sigma')^2+\frac{\hbar}{\mathrm{i}}\,\sigma''=p(x)^2\tag{4.7.4}$$

を得る。$-\mathrm{i}\hbar=\hbar/\mathrm{i}$ を使った。ここまで近似は入っていない。式 (4.7.4) は $\sigma'$ についての1階の非線形方程式（Riccati 型）で、2階の線形方程式 (4.7.2) と同じ内容を持つ。

$\hbar\to0$ では第2項が消え、$(\sigma')^2=p^2$ が残る。これは時間に依らない Hamilton–Jacobi 方程式

$$H\Bigl(x,\frac{\partial W}{\partial x}\Bigr)=\frac{1}{2m}\Bigl(\frac{\partial W}{\partial x}\Bigr)^2+V(x)=E$$

で、$\sigma$ の最低次が特性関数 $W(x,E)$ であることを示している（第1部第13章）。そこで、$\sigma$ を小さいパラメータ $\hbar/\mathrm{i}$ の冪で展開する。

$$\sigma=\sigma_0+\frac{\hbar}{\mathrm{i}}\,\sigma_1+\Bigl(\frac{\hbar}{\mathrm{i}}\Bigr)^2\sigma_2+\cdots .\tag{4.7.5}$$

冪の変数を $\hbar$ でなく $\hbar/\mathrm{i}$ に取るのは、式 (4.7.4) の第2項の係数がちょうど $\hbar/\mathrm{i}$ なので、次数ごとの式から $\mathrm{i}$ が消えるためである。

次数ごとの方程式

式 (4.7.5) を式 (4.7.4) に入れ、$(\hbar/\mathrm{i})^k$ の係数をそろえると、

$$\begin{align*}(\hbar/\mathrm{i})^0:&\quad (\sigma_0')^2=p^2,\tag{4.7.6}\\(\hbar/\mathrm{i})^1:&\quad 2\sigma_0'\sigma_1'+\sigma_0''=0,\tag{4.7.7}\\(\hbar/\mathrm{i})^2:&\quad 2\sigma_0'\sigma_2'+(\sigma_1')^2+\sigma_1''=0\tag{4.7.8}\end{align*}$$

となる（検算 scripts/verify_ch4-07.py）。式 (4.7.6) から $\sigma_0'=\pm p$、すなわち$\sigma_0=\pm\int^xp\,\mathrm{d} x'=\pm W(x,E)$ である。式 (4.7.7) は $\sigma_1'=-\sigma_0''/(2\sigma_0')=-p'/(2p)$ を与え、積分して $\sigma_1=-\frac12\ln p$ となる。これを $\psi=\exp(\mathrm{i}\sigma/\hbar)$ に戻すと、

$$\psi=\exp\Bigl(\pm\frac{\mathrm{i}}{\hbar}W+\sigma_1+\frac{\hbar}{\mathrm{i}}\sigma_2+\cdots\Bigr) =\frac{1}{\sqrt{p}}\,\mathrm{e}^{\pm\mathrm{i} W(x,E)/\hbar}\Bigl(1-\mathrm{i}\hbar\,\sigma_2+\cdots\Bigr)$$

である。最初の2項で打ち切ったもの

$$\psi_{\mathrm{WKB}}(x)=\frac{C_+}{\sqrt{p(x)}}\exp\Bigl(\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int^xp\,\mathrm{d} x'\Bigr)+\frac{C_-}{\sqrt{p(x)}}\exp\Bigl(-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int^xp\,\mathrm{d} x'\Bigr)\tag{4.7.9}$$

を WKB 近似の波動関数と呼ぶ。2つの符号は、等エネルギーの曲線の上の枝（右へ進む粒子、$p>0$）と下の枝（左へ進む粒子、$p<0$）に対応する。式 (4.7.2) は線形なので、2つの枝の波を足し合わせてよい。

打ち切りが意味を持つのは、捨てた補正 $\hbar\sigma_2$ が 1 に比べて小さいときである。$\sigma_2$ を具体的に求めると、条件の中身が分かる。