当てる道具：Hamilton–Jacobi 方程式と、相空間の曲線の上の密度

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第4部 第7章 §4.7.2　★★★ 位相 $\sigma_0$ は特性関数 $W(x,E)$、振幅 $\lvert A\rvert ^2\propto1/p$ は古典の粒子の滞在時間の密度。WKB の波は1本の軌道でなく、等エネルギーの曲線全体に対応する

最低次：特性関数

前節の最低次の式 (4.7.6) は、時間に依らない Hamilton–Jacobi 方程式であった。第1部第13章で示したように、Hamilton の主関数を $S(x,t)=W(x,E)-Et$ と分離すると $\frac{\partial S}{\partial t}=-E$、$\frac{\partial S}{\partial x}=\frac{\partial W}{\partial x}=p$ となる。時間因子 $\mathrm{e}^{-\mathrm{i} Et/\hbar}$ を戻すと、WKB の波の位相は

$$\frac{1}{\hbar}\bigl(W(x,E)-Et\bigr)=\frac{S(x,t)}{\hbar}$$

で、主関数そのものである。位相が一定の面（1次元では点）は $S$ の等値面で、第1部第13章で見たとおり古典の軌道はこの面に直交して進む。波の位相速度と粒子の速度は違うが、波の「進む向き」は古典の運動量 $p=\frac{\partial W}{\partial x}$ の向きと一致する。

次の次数：確率の流れの保存

式 (4.7.7) の意味は、$\sigma_1=\ln A$ と書いて確率の流れを計算すると分かる。WKB の波 $\psi=A\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} W/\hbar}$（$A=p^{-1/2}$）の確率の流れは

$$j=\frac{\hbar}{m}\operatorname{Im}\bigl(\psi^*\psi'\bigr)=\frac{\lvert A\rvert ^2}{m}\,\frac{\partial W}{\partial x}=\frac{\lvert A\rvert ^2p}{m}$$

で、式 (4.7.7) は $(\lvert A\rvert ^2p)'=0$、すなわち $j$ が一定であることと同じである（検算 scripts/verify_ch4-07.py）。第1部第13章で $\psi=A\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar}$ から厳密に出した連続の式 $\partial_t\lvert A\rvert ^2+\partial_x(\lvert A\rvert ^2\,\partial_xS/m)=0$ の、定常な場合である。

$\lvert A\rvert ^2\propto1/p$ には古典的な意味がある。古典の粒子が位置 $x$ のまわりの幅 $\mathrm{d} x$ を通過するのにかかる時間は $\mathrm{d} t=\mathrm{d} x/\lvert \dot x\rvert =m\,\mathrm{d} x/p$ である。束縛された運動で、周期 $T(E)$ のあいだに粒子は各点を行きと帰りの2回通るので、時間で平均した古典の確率密度は

$$P_{\mathrm{cl}}(x)=\frac{2}{T(E)}\,\frac{m}{p(x)}\tag{4.7.10}$$

になる。WKB の波の $\lvert \psi\rvert ^2$ を、波長より長く束縛の幅より短い範囲で平均したもの（2つの枝の干渉の縞を均したもの）は、この $P_{\mathrm{cl}}$ に比例する。振幅の $p^{-1/2}$ は、「遅く通る場所ほど見つかりやすい」という古典の滞在時間の平方根である。

多自由度に広げると、式 (4.7.7) は $\nabla\cdot(\lvert A\rvert ^2\nabla S)=0$ になり、その解は第1部第13章の完全解 $S(q,\alpha,t)$ を使って $\lvert A\rvert ^2\propto\lvert \det\bigl(\partial^2S/\partial q_i\partial\alpha_j\bigr)\rvert$ と書ける（Van Vleck の行列式）。これは、初めの条件 $\alpha$ を少し変えた軌道の束が位置 $q$ でどれだけ密に詰まっているかを表す量で、1次元の $1/p$ はその特別な場合である。軌道の束が1点に集まる所（火線）でこの行列式は発散し、WKB の振幅も発散する。1次元の転回点はその最も簡単な例で、次の節の主題である。

WKB の波は等エネルギーの曲線全体に対応する

WKB の波 (4.7.9) を相空間で見ると、上の枝 $p=+p(x)$ と下の枝 $p=-p(x)$ の2つの波の和で、2つの枝はつながって等エネルギーの曲線 $\Lambda_E=\{(x,p)\,|\,H(x,p)=E\}$ を作っている。WKB の波は、1本の軌道の上の1つの点でなく、$\Lambda_E$ 全体に、その上を一様な速さで（角変数 $\theta$ が一様に増える速さで）回る粒子の集団に対応している。これは第1部第14章の作用角変数の絵そのもので、$\Lambda_E$ は作用変数 $J$ が一定の曲線、$\lvert A\rvert ^2\,\mathrm{d} x\propto\mathrm{d} t\propto\mathrm{d}\theta$ は角変数についての一様な密度である。多自由度で可積分なら $\Lambda_E$ は不変トーラスになり、このように「$p=\nabla W$ で与えられる相空間の部分集合」を Lagrange 部分多様体と呼ぶ。