出てくるもの1：転回点は射影の特異点で、運動量表示へ移ると消える

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第4部 第7章 §4.7.3　★★★ 転回点で $p^{-1/2}$ が発散するのは、滑らかな曲線 $\Lambda_E$ を $x$ 軸に射影したときだけの特異点である。運動量表示の波を停留位相で $x$ に戻すと、位相の関数は Legendre 変換で移り、転回点ごとに $-\pi/2$ が残る

発散しているのは射影である

式 (4.7.9) の振幅 $p^{-1/2}$ は、転回点 $x=a$（$V(a)=E$、$p(a)=0$）で発散する。しかし相空間で見ると、等エネルギーの曲線 $\Lambda_E$ は転回点でも滑らかである。図 4.7.1 は一様な力 $V=Fx$ の場合で、$\Lambda_E$ は横向きの放物線 $x=(E-p^2/(2m))/F$ になる。転回点では曲線の接線が $p$ 軸に平行になり、曲線を $x$ 軸に射影したとき、近くの点の $x$ の幅がつぶれる。$\lvert A\rvert ^2\propto\mathrm{d} t/\mathrm{d} x$ は「単位長さあたりに曲線がどれだけ詰まって射影されるか」なので、接線が縦になる所で発散する。一方、同じ曲線を $p$ 軸に射影すると、転回点の近くでも何も起きない（$\mathrm{d} x/\mathrm{d} p$ は有限で、$\mathrm{d} p/\mathrm{d} x$ が発散するだけである）。

そこで、転回点の近くでは運動量表示の波動関数 $\phi(p)$ を使えばよい。運動量表示では $\hat x=\mathrm{i}\hbar\,\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} p}$ で、WKB の形を

$$\phi(p)=B(p)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\tilde W(p)/\hbar}$$

と置くと、$\hat x\phi=\mathrm{i}\hbar\phi'\approx-\tilde W'(p)\,\phi$ なので、最低次は

$$x=-\frac{\mathrm{d} \tilde W}{\mathrm{d} p},\qquad H\Bigl(-\frac{\mathrm{d} \tilde W}{\mathrm{d} p},p\Bigr)=E\tag{4.7.11}$$

になる。これは運動量表示の Hamilton–Jacobi 方程式で、$\tilde W(p)$ は第1部第12章の第3種の母関数 $F_3(p,Q)$ の規則 $q=-\frac{\partial F_3}{\partial p}$ と同じ形で $x$ を与える（第1部第12章）。振幅の式も同じ論法で $\lvert B\rvert ^2\propto\mathrm{d} t/\mathrm{d} p=1/\lvert \dot p\rvert =1/\lvert V'(x)\rvert$ となり、転回点 $p=0$ では $V'(a)\neq0$ である限り有限である。

位置表示へ戻す：停留位相と Legendre 変換

運動量表示の波を位置表示へ戻すには Fourier 変換

$$\psi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int\mathrm{d} p\;B(p)\,\exp\Bigl(\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\bigl(\tilde W(p)+px\bigr)\Bigr)\tag{4.7.12}$$

を使う。$\hbar$ が小さいと指数の位相は $p$ について速く振動し、積分の値は位相が停留する点

$$\frac{\partial }{\partial p}\bigl(\tilde W(p)+px\bigr)=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=-\frac{\mathrm{d} \tilde W}{\mathrm{d} p}$$

の近くだけで決まる（停留位相の方法）。停留点はちょうど式 (4.7.11) の関係で、与えられた $x$ に対して曲線 $\Lambda_E$ の上の点の運動量 $p=\pm p(x)$ を選ぶ。停留点での位相の値 $\tilde W(p)+px$ は、$\tilde W$ を Legendre 変換して $x$ の関数に戻したものであり、これが位置表示の特性関数 $W(x)$ に等しい。第1部第7章の Legendre 変換が、ここでは $\hbar\to0$ の Fourier 変換として現れる（第1部第7章）。

停留点 $p_s$ のまわりで位相を2次まで展開し、Gauss 積分を実行すると、停留位相の公式

$$\int\mathrm{d} p\;g(p)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\Phi(p)/\hbar}\approx g(p_s)\sqrt{\frac{2\pi\hbar}{\lvert \Phi''(p_s)\rvert }}\;\exp\Bigl(\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\Phi(p_s)+\frac{\mathrm{i}\pi}{4}\operatorname{sgn}\Phi''(p_s)\Bigr)\tag{4.7.13}$$

を得る。$\Phi=\tilde W+px$ なら $\Phi''=\tilde W''=-\mathrm{d} x/\mathrm{d} p$ である。曲線 $\Lambda_E$ の上の枝と下の枝では $\mathrm{d} x/\mathrm{d} p$ の符号が逆なので（図 4.7.1）、2つの枝の寄与は $\operatorname{sgn}\Phi''$ が逆で、位相 $\pm\pi/4$ を持つ。2つの枝の位相の差は $\pi/2$ であり、これは転回点を通って一方の枝から他方の枝へ移るときに波の位相に加わる量である。振幅は $\lvert B\rvert \sqrt{\lvert \mathrm{d} p/\mathrm{d} x\rvert }\propto\sqrt{\lvert \mathrm{d} p/\mathrm{d} x\rvert /\lvert V'\rvert }=\sqrt{m/p}$ となり、位置表示の WKB の振幅 $p^{-1/2}$ に戻る。

一様な力では運動量表示の WKB が厳密

一様な力 $V=Fx$ では、運動量表示の Schrödinger 方程式が1階になり、厳密に解くことができる。$\hat H\phi=\bigl(p^2/(2m)+\mathrm{i}\hbar F\,\mathrm{d}/\mathrm{d} p\bigr)\phi=E\phi$ から

$$\phi(p)=N\exp\Bigl(-\frac{\mathrm{i}}{\hbar F}\Bigl(Ep-\frac{p^3}{6m}\Bigr)\Bigr),\qquad \tilde W(p)=-\frac{1}{F}\Bigl(Ep-\frac{p^3}{6m}\Bigr)\tag{4.7.14}$$

であり、振幅 $B$ は定数（$1/\lvert V'\rvert =1/F$ が一定）、補正の項は1つもない。運動量表示では WKB が厳密である。$x=-\tilde W'(p)=(E-p^2/(2m))/F$ は確かに等エネルギーの曲線である（検算 scripts/verify_ch4-07.py）。

これを式 (4.7.12) で位置表示に戻す。$p=\alpha s$、$\alpha=(2mF\hbar)^{1/3}$ と置くと、指数は $\mathrm{i}\bigl(s^3/3+zs\bigr)$ になり、

$$\psi(x)\propto\mathrm{Ai}(z)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(s^3/3+zs)}\,\mathrm{d} s,\qquad z=\Bigl(\frac{2mF}{\hbar^2}\Bigr)^{1/3}\Bigl(x-\frac{E}{F}\Bigr)\tag{4.7.15}$$

を得る。Airy 関数は、ここでは「厳密な運動量表示の WKB の波を Fourier 変換したもの」として出てくる。$z<0$（古典的に入れる側）では停留点が $s=\pm\sqrt{\lvert z\rvert }$ の2つあり、式 (4.7.13) から

$$\mathrm{Ai}(z)\approx\frac{1}{\sqrt\pi\,\lvert z\rvert ^{1/4}}\cos\Bigl(\frac23\lvert z\rvert ^{3/2}-\frac\pi4\Bigr)\tag{4.7.16}$$

が出る。$\frac23\lvert z\rvert ^{3/2}=\frac1\hbar\int_x^ap\,\mathrm{d} x'$（$a=E/F$）なので、これは位置表示で

$$\psi(x)\approx\frac{2C}{\sqrt{p(x)}}\cos\Bigl(\frac1\hbar\int_x^ap\,\mathrm{d} x'-\frac\pi4\Bigr)\tag{4.7.17}$$

という形で、第V巻で Airy 関数の漸近形から出した接続の公式の振動側と同じものである（近似の数理 第7章）。$z>0$（入れない側）では実数の停留点が無く、積分は指数関数的に小さくなる。この側の扱いは 4.7.5節で行う。

図 4.7.2 は、厳密な $\mathrm{Ai}(z)$ と、停留位相で得た2つの漸近形を比べたものである。転回点から1波長ほど離れれば、両者はほとんど重なる。

転回点ごとに $-\pi/2$：Maslov の指数

式 (4.7.17) を2つの枝に分けて書くと、

$$\psi\approx\frac{C}{\sqrt p}\Bigl[\exp\Bigl(\mathrm{i}\Bigl(\frac1\hbar\int_x^ap\,\mathrm{d} x'-\frac\pi4\Bigr)\Bigr)+\exp\Bigl(-\mathrm{i}\Bigl(\frac1\hbar\int_x^ap\,\mathrm{d} x'-\frac\pi4\Bigr)\Bigr)\Bigr]$$

で、転回点に向かう波と転回点から戻る波の位相の差は、道のりの分 $\frac2\hbar\int_x^ap\,\mathrm{d} x'$ のほかに $\pi/2$ だけある。言い換えると、曲線 $\Lambda_E$ に沿って波の位相 $\frac1\hbar\int p\,\mathrm{d} x$ を追っていくと、$x$ 軸への射影が特異になる点（接線が縦になる点）を1回通るごとに、位相が $\pi/2$ だけ遅れる。この規則は転回点の形によらず、$V'(a)\neq0$ の孤立した転回点ならいつも成り立つ（転回点の近くではポテンシャルは一様な力で近似でき、上の厳密解がそのまま使える）。

硬い壁（$x=0$ で $V$ が無限大）では様子が違う。壁で $\psi(0)=0$ でなければならないので、入射波と反射波は$\mathrm{e}^{\mathrm{i} W/\hbar}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i} W/\hbar}\propto\sin(W/\hbar)$（$W$ は壁から測る）の形に組み、反射で位相が $\pi$ ずれる。これは滑らかな転回点の $\pi/2$ の2倍に当たる。曲線 $\Lambda_E$ は壁の所で上の枝から下の枝へ不連続に跳ぶ。

閉じた曲線 $\Lambda_E$ を1周するあいだに生じる遅れの合計を $\pi/2$ を単位に数えた整数を、Maslov の指数と呼び、この章では $\mu_{\mathrm M}$ と書く。滑らかな転回点は1つにつき 1、硬い壁は1つにつき 2 を数える。