出てくるもの3：トンネルは虚数の運動量と虚数の時間

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第4部 第7章 §4.7.5　★★★ $E<V$ の領域では $p$ が虚数になり、WKB の波は $\mathrm{e}^{-\int\lvert p\rvert \,\mathrm{d} x/\hbar}$ で減衰する。指数は、ポテンシャルを逆さにした「虚数の時間の運動」の作用に等しい

古典的に入れない領域の WKB

$E<V(x)$ の領域では式 (4.7.3) の $p$ は虚数になる。$\lvert p(x)\rvert =\sqrt{2m(V(x)-E)}$ と書くと、最低次の式 (4.7.6) の解は$\sigma_0=\pm\mathrm{i}\int^x\lvert p\rvert \,\mathrm{d} x'$ で、WKB の波は

$$\psi(x)\approx\frac{D_+}{\sqrt{\lvert p(x)\rvert }}\exp\Bigl(\frac1\hbar\int^x\lvert p\rvert \,\mathrm{d} x'\Bigr)+\frac{D_-}{\sqrt{\lvert p(x)\rvert }}\exp\Bigl(-\frac1\hbar\int^x\lvert p\rvert \,\mathrm{d} x'\Bigr)\tag{4.7.20}$$

になる。$\hbar\sigma_2$ の評価も、$p$ を $\mathrm{i}\lvert p\rvert$ に置き換えて同じに行うことができる。障壁の中で振幅が増えるか減るかは、障壁の外の波とのつなぎ方（接続）で決まる。

高さが $E$ より高い障壁が $x_1<x<x_2$ にあり（$V(x_1)=V(x_2)=E$）、左から粒子が入射するとき、障壁の中の波は主に減衰する側の項で、右の転回点 $x_2$ での振幅は左の転回点 $x_1$ での振幅の $\mathrm{e}^{-\Theta}$ 倍になる。ここで

$$\Theta=\frac1\hbar\int_{x_1}^{x_2}\lvert p(x)\rvert \,\mathrm{d} x=\frac1\hbar\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{2m\bigl(V(x)-E\bigr)}\,\mathrm{d} x\tag{4.7.21}$$

である。2つの転回点での接続の係数（第V巻の接続の公式。近似の数理 第7章）は $\Theta$ によらない 1 の程度の数なので、透過する確率（透過率）$\mathcal T$ は、$\Theta\gg1$ で

$$\mathcal T\approx\mathrm{e}^{-2\Theta}\tag{4.7.22}$$

になる。この章では、透過率を周期 $T$ と区別して $\mathcal T$ と書く。式 (4.7.22) で正しいのは指数の部分だけで、指数の前に付く係数は $\hbar$ の次の次数の情報であり、この次数では決まらない。

虚数の時間の古典運動

指数 $\Theta$ には解析力学の意味がある。時間を虚数 $t=-\mathrm{i}\tau$ に取り直すと、$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}=\mathrm{i}\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \tau}$ なので、Newton の運動方程式 $m\ddot x=-V'(x)$ は

$$m\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}\tau^2}=+V'(x)\tag{4.7.23}$$

に変わる。これはポテンシャル $-V(x)$ の中の実数の運動である。逆さにしたポテンシャルでは障壁が谷になるので、古典的に入れなかった区間 $x_1<x<x_2$ を、粒子は実数の時間 $\tau$ で普通に通り抜ける。この運動のエネルギーの保存は$\frac m2\bigl(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} \tau}\bigr)^2-V(x)=-E$ で、このときの運動量 $m\,\mathrm{d} x/\mathrm{d}\tau$ はちょうど $\sqrt{2m(V-E)}=\lvert p\rvert$ になる（検算 scripts/verify_ch4-07.py）。したがって $\hbar\Theta=\int\lvert p\rvert \,\mathrm{d} x$ は、虚数の時間の運動で第1部第13章の特性関数 $W=\int p\,\mathrm{d} x$ を計算したもの、すなわち逆さのポテンシャルの中の運動の作用（簡約した作用）である。

トンネルの確率の指数は、実数の時間では許されない運動を、虚数の時間で許された運動に置き換えて、その作用を測ったものになっている。この見方は、経路積分で $\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar}$ の時間を虚数に回したときに中心的な量になる（第4部第8章）。また、虚数の時間の発展 $\mathrm{e}^{-\hat H\tau/\hbar}$ は、温度の逆数を $\beta=\tau/\hbar$ と読めば統計力学の $\mathrm{e}^{-\beta\hat H}$ である（第5部第1章）。

滑らかな障壁で比べる

$V(x)=V_0/\cosh^2(x/\ell)$（Eckart の障壁、$\ell$ は幅）は、透過率が厳密に求まる滑らかな障壁である。$\hbar=m=\ell=1$ の単位で、$8V_0>1$ のとき

$$\mathcal T_{\mathrm{exact}}=\frac{\sinh^2(\pi k)}{\sinh^2(\pi k)+\cosh^2\bigl(\pi\sqrt{2V_0-1/4}\bigr)},\qquad k=\sqrt{2E}\tag{4.7.24}$$

である（検算 scripts/verify_ch4-07.py で Schrödinger 方程式を数値積分して確かめた）。図 4.7.3 は、$V_0=8$ でこれと $\mathrm{e}^{-2\Theta}$ を比べたものである。