当てる道具：Bardeen のトンネル行列要素と黄金律

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第4部 第7章 §4.7.2　★★★ 左右の電極を別々に解いた状態の間の行列要素は、障壁の中の面の上の「流れの形」の積分 $M=(\hbar^2/2m)\int_S(\psi_{\mathrm R}^*\partial_z\psi_{\mathrm L}-\psi_{\mathrm L}\partial_z\psi_{\mathrm R}^*)$ になる。黄金律で電流を書くと、電流は2つの電極の状態密度と $\lvert M\rvert ^2$ の積をエネルギーで積分したものになる

2つの電極を別々に解く

式 (4.7.1) の $\hat H$ をそのまま解くと、状態は2つの電極にまたがった定在波になり、どちらの電極の状態かという区別が消える。トンネルが起きるのは、電子が片方の電極の状態から他方の電極の状態へ移ることなので、2つの電極を別々に解いた状態を出発点にするほうが見通しがよい（J. Bardeen（1961）、Physical Review Letters 6、57）。

障壁の中に1枚の面 $S$ を置き、$S$ より左を左の電極の側、右を右の電極の側とする。左の電極だけを残した Hamiltonian $\hat H_{\mathrm L}=\hat{\bm{p}}^2/2m+U_{\mathrm L}$ の固有状態を $\psi_\mu$（エネルギー $\varepsilon _\mu$）、右の電極だけを残した $\hat H_{\mathrm R}=\hat{\bm{p}}^2/2m+U_{\mathrm R}$ の固有状態を $\psi_\nu$（エネルギー $\varepsilon _\nu$）とする。$\psi_\mu$ は左の電極の中にいて、右へ向かって障壁の中で減衰し、右の電極があるはずの所でも（$U_{\mathrm R}$ が無いので）真空の中のように減衰し続ける。$\psi_\nu$ も同様である。

$\psi_\mu$ は $\hat H_{\mathrm L}$ の固有状態なので、全体の $\hat H=\hat H_{\mathrm L}+U_{\mathrm R}$ をかけると $\hat H\psi_\mu=\varepsilon _\mu\psi_\mu+U_{\mathrm R}\psi_\mu$ で、$U_{\mathrm R}$ が $\psi_\mu$ を右の電極の状態へ移す摂動になる。その行列要素は

$$M_{\nu\mu}=\int\psi_\nu^*\,U_{\mathrm R}\,\psi_\mu\,\mathrm{d}^3r=\int_{z>z_S}\psi_\nu^*\,U_{\mathrm R}\,\psi_\mu\,\mathrm{d}^3r\tag{4.7.5}$$

である（$U_{\mathrm R}$ は面 $S$ の右側でしか値を持たない）。面 $S$ の右側では、$\psi_\nu$ は $\hat H_{\mathrm R}$ の固有状態なので $U_{\mathrm R}\psi_\nu^*=(\varepsilon _\nu-\hat{\bm{p}}^2/2m)\psi_\nu^*$（$U_{\mathrm R}$ は実数）、$\psi_\mu$ はそこに $U_{\mathrm L}$ が無いので $(\hat{\bm{p}}^2/2m)\psi_\mu=\varepsilon _\mu\psi_\mu$ を満たす。エネルギーを保つ移り方（$\varepsilon _\mu=\varepsilon _\nu$）だけを考えると、

$$M_{\nu\mu}=\int_{z>z_S}\Bigl(\psi_\nu^*\frac{\hat{\bm{p}}^2}{2m}\psi_\mu-\psi_\mu\frac{\hat{\bm{p}}^2}{2m}\psi_\nu^*\Bigr)\mathrm{d}^3r =-\frac{\hbar^2}{2m}\int_{z>z_S}\nabla\cdot\bigl(\psi_\nu^*\nabla\psi_\mu-\psi_\mu\nabla\psi_\nu^*\bigr)\,\mathrm{d}^3r$$

となる。Gauss の定理で面積分に直すと、面 $S$ の上で外向きの法線は $-z$ の向きなので

$$M_{\nu\mu}=\frac{\hbar^2}{2m}\int_S\Bigl(\psi_\nu^*\frac{\partial \psi_\mu}{\partial z}-\psi_\mu\frac{\partial \psi_\nu^*}{\partial z}\Bigr)\mathrm{d} S\tag{4.7.6}$$

を得る（遠くの面からの寄与は、$\psi_\mu$ が右へ減衰するので 0）。これが Bardeen のトンネル行列要素である。

黄金律で電流を書く

$M_{\nu\mu}$ が小さいとき、左の状態 $\mu$ から右の状態 $\nu$ へ移る単位時間あたりの確率は、Fermi の黄金律で $(2\pi/\hbar)\lvert M_{\nu\mu}\rvert ^2\delta(\varepsilon _\mu-\varepsilon _\nu)$ である。左の電極の化学ポテンシャルを $\mu_{\mathrm L}$、右を $\mu_{\mathrm R}$ とし、$\mu_{\mathrm L}-\mu_{\mathrm R}=eV$ とする（電圧 $V$ は、電子が左から右へ流れる向きに正）。左の状態が占められていて右の状態が空いているときに左から右へ移り、逆も起きるので、左から右へ移る電子の数の流れから右から左への流れを引くと、$f_{\mathrm L}(1-f_{\mathrm R})-f_{\mathrm R}(1-f_{\mathrm L})=f_{\mathrm L}-f_{\mathrm R}$ の重みが残る。スピンの2つの向きを数えると、電流の大きさは

$$I=2e\,\frac{2\pi}{\hbar}\sum_{\mu,\nu}\lvert M_{\nu\mu}\rvert ^2\bigl[f(\varepsilon _\mu-\mu_{\mathrm L})-f(\varepsilon _\nu-\mu_{\mathrm R})\bigr]\delta(\varepsilon _\mu-\varepsilon _\nu)$$

である。ここで $f(x)=1/(\mathrm{e}^{\beta x}+1)$ は Fermi 分布である。状態の和を、各電極全体の1スピンあたりの状態密度 $D_{\mathrm L}(\varepsilon )$、$D_{\mathrm R}(\varepsilon )$ を使った積分に直し、$\lvert M\rvert ^2$ をエネルギー $\varepsilon$ の面での平均で置き換えると

$$I=\frac{4\pi e}{\hbar}\int\mathrm{d}\varepsilon \;D_{\mathrm L}(\varepsilon )\,D_{\mathrm R}(\varepsilon )\,\lvert M(\varepsilon )\rvert ^2\,\bigl[f(\varepsilon -\mu_{\mathrm L})-f(\varepsilon -\mu_{\mathrm R})\bigr]\tag{4.7.7}$$

を得る。この章の $D_{\mathrm L}$・$D_{\mathrm R}$ は記法の正本の状態密度（単位体積・両スピンあたり）と違い、電極全体・1スピンあたりの状態密度である。電極の体積を大きくすると $D$ は体積に比例して増え、規格化した波動関数の振幅の2乗 $\lvert \psi\rvert ^2$ は体積に反比例して減るので、積 $D\lvert M\rvert$ は電極の大きさによらない。

温度が 0 で、$D$ と $\lvert M\rvert ^2$ が $\mu_{\mathrm R}$ から $\mu_{\mathrm L}$ までの幅 $eV$ の中でほとんど変わらなければ、積分の範囲は $\mu_{\mathrm R}<\varepsilon <\mu_{\mathrm L}$ だけで、

$$I=GV,\qquad G=\frac{4\pi e^2}{\hbar}D_{\mathrm L}(\varepsilon _{\mathrm F})\,D_{\mathrm R}(\varepsilon _{\mathrm F})\,\lvert M(\varepsilon _{\mathrm F})\rvert ^2\tag{4.7.8}$$

とオーム則の形になる。トンネル接合の伝導度は、両側の Fermi 準位での状態密度の積に比例する。これが、トンネルで状態密度を測るという考え方の出発点である。