出てくるもの2：Bohr–Sommerfeld の条件は作用変数の量子化

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第4部 第7章 §4.7.4　★★★ 閉じた曲線 $\Lambda_E$ を1周して波が元に戻る条件が $J=\hbar(n+\mu_{\mathrm M}/4)$。滑らかな井戸の $\frac12$、壁つきの $\frac34$、箱の $1$ はすべて Maslov の指数の数え方の違い

1周して元に戻る条件

束縛された運動では、曲線 $\Lambda_E$ は閉じている。WKB の波は曲線の上の各点に位相 $\frac1\hbar\int p\,\mathrm{d} x$ を割り当てるので、曲線を1周して出発点に戻ったとき、位相が $2\pi$ の整数倍だけずれていなければ、1つの点に2つの違う値が割り当てられてしまう。1周で波の位相に加わる量は、道のりの分 $\frac1\hbar\oint p\,\mathrm{d} x$ から、前節の規則で数えた遅れ $\mu_{\mathrm M}\pi/2$ を引いたものなので、条件は

$$\frac1\hbar\oint p\,\mathrm{d} x-\mu_{\mathrm M}\frac\pi2=2\pi n,\qquad n=0,1,2,\dots$$

である。作用変数 $J=\frac{1}{2\pi}\oint p\,\mathrm{d} x$（第1部第14章）で書き直すと、次の形になる。

滑らかな井戸（転回点2つ）では $\mu_{\mathrm M}=2$ で $J=(n+\frac12)\hbar$、第1部第14章で結果だけ使った形である。$\frac12$ は2つの転回点の $\pi/2$ ずつの遅れの和である。箱（壁2つ）では $\mu_{\mathrm M}=4$ で $J=(n+1)\hbar$ となり、$n'=n+1=1,2,\dots$ と番号を付け直せば第1部第14章の $J=n'\hbar$ と同じで、このとき準位 $E=\pi^2\hbar^2n'^2/(2ma^2)$ は厳密値に一致する（検算 scripts/verify_ch4-07.py）。片側が壁、片側が滑らかな井戸では $\mu_{\mathrm M}=3$ で $J=(n+\frac34)\hbar$ になる。

第1部第14章で見たように、$E=H(J)$ が作用変数の関数として分かっていれば、準位は $E_n=H\bigl(\hbar(n+\mu_{\mathrm M}/4)\bigr)$ でただちに決まる。隣の準位との間隔は

$$E_{n+1}-E_n\approx\frac{\mathrm{d} H}{\mathrm{d} J}\,\hbar=\hbar\,\omega(J)=\frac{2\pi\hbar}{T(E)}\tag{4.7.19}$$

で、古典の角振動数 $\omega(J)=\partial H/\partial J$ に $\hbar$ を掛けたものになる。準位の間隔から古典の運動の振動数が決まるという対応（対応原理）は、作用角変数の $\omega=\partial H/\partial J$ そのものである。同じことを状態の数で言い直すと、エネルギー $E$ 以下の状態の数は$J(E)/\hbar$ 程度で、相空間で曲線 $\Lambda_E$ の内側の面積 $2\pi J$ を $2\pi\hbar=h$ で割ったものになる。第3部で状態を数えるときに相空間の体積を $h$ で割った理由が、ここで1自由度について確かめることができる。

多自由度に広げると、可積分系の不変トーラスには独立な閉じた道 $C_1,\dots,C_f$ が $f$ 本あり、条件 (4.7.18) はそれぞれの道について$\frac{1}{2\pi}\oint_{C_k}\sum_ip_i\,\mathrm{d} q_i=\hbar\bigl(n_k+\mu_k/4\bigr)$ になる。$\mu_k$ はその道に沿って数えた Maslov の指数である。変数が分離しない系にも使えるこの形は、Keller（1958）が与えた¹1J. B. Keller (1958), Annals of Physics 4, 180.下の脚注へ閉じる。古い量子論の条件 $\oint p\,\mathrm{d} q=nh$ と比べると、違いはこの $\mu_k/4$ だけである。