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授業で習った形との対応

2026年10月15日6分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第4部 第7章 WKB と Hamilton–Jacobi
目次
  1. 式を並べる
  2. 崩壊の Gamow の因子
  3. 木下の層

AI 生成・木下が未勉強

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第4部 第7章 §4.7.6　★★ 量子力学の授業の WKB の4つの式（振幅 1/p1/\sqrt p・接続の公式・(n+12)(n+\frac12) の量子化・トンネルの e−2∫κ dx\mathrm{e}^{-2\int\kappa\,\mathrm{d} x}）は、それぞれ特性関数・滞在時間・Maslov の指数・虚数の時間の作用である

式を並べる

解析力学を使わない量子力学の授業では、WKB は「波数 k(x)=p(x)/ℏk(x)=p(x)/\hbar がゆっくり変わるときの近似解」として導入され、次の4つの式を順に覚えることが多い。この章の形と並べると次のようになる。

授業での形この章の形
ψ≈Ck(x)e±i∫k dx\psi\approx\dfrac{C}{\sqrt{k(x)}}\mathrm{e}^{\pm\mathrm{i}\int k\,\mathrm{d} x}、条件 ∣1k2dkdx∣≪1\Bigl|\dfrac{1}{k^2}\frac{\mathrm{d} k}{\mathrm{d} x}\Bigr|\ll1位相は特性関数 W(x,E)/ℏW(x,E)/\hbar（Hamilton–Jacobi 方程式の解）。振幅の2乗は滞在時間の密度 ∝1/p\propto1/p。条件は ℏσ2≪1\hbar\sigma_2\ll1（4.7.1節・4.7.2節）
接続の公式 2kcos⁡(∫xak dx′−π4)↔1κe−∫axκ dx′\dfrac{2}{\sqrt k}\cos\Bigl(\displaystyle\int_x^ak\,\mathrm{d} x'-\frac\pi4\Bigr)\leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt\kappa}\mathrm{e}^{-\int_a^x\kappa\,\mathrm{d} x'}転回点は ΛE\Lambda_E の xx 軸への射影の特異点。運動量表示からの停留位相で −π/4-\pi/4、1周で数えると Maslov の指数（4.7.3節）
∫abk dx=(n+12)π\displaystyle\int_a^bk\,\mathrm{d} x=\Bigl(n+\frac12\Bigr)\piJ=ℏ(n+μM/4)J=\hbar(n+\mu_{\mathrm M}/4)、作用変数の量子化。壁があれば 34\frac34 や 11（4.7.4節）
T≈exp⁡(−2∫x1x2κ dx)\mathcal T\approx\exp\Bigl(-2\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}\kappa\,\mathrm{d} x\Bigr)、κ=2m(V−E)/ℏ\kappa=\sqrt{2m(V-E)}/\hbarκ=∣p∣/ℏ\kappa=\lvert p\rvert /\hbar。指数は逆さのポテンシャルの中の虚数の時間の運動の作用（4.7.5節）

授業の形では、cos⁡(⋯−π/4)\cos(\cdots-\pi/4) の −π/4-\pi/4 は Airy 関数の漸近形から出てくる数として与えられ、量子化条件の 12\frac12 はその2倍として説明される。この章の形では、−π/4-\pi/4 は停留位相の公式 (4.7.13) の sgn⁡Φ′′\operatorname{sgn}\Phi'' から出てくるもので、Airy 関数を知らなくても数えることができる。また、授業の量子化条件は井戸の片道 ∫ab\int_a^b で書かれるが、この章の形は1周 ∮\oint で書かれ、作用変数 JJ そのものになっている。片道で書くと、壁がある井戸で 12\frac12 を 34\frac34 や 11 に変える理由が式に現れない。1周で書けば、通った転回点と壁を数えるだけで済む。

α\alpha 崩壊の Gamow の因子

授業でトンネルの式の典型的な応用として扱われるのが、原子核の α\alpha 崩壊である。α\alpha 粒子（電荷 2e2e）と残りの核（電荷 ZeZe）の Coulomb の障壁V(r)=2Ze24πε0rV(r)=\frac{2Ze^2}{4\pi\varepsilon_0r} を、核の外の転回点 bb（V(b)=EV(b)=E）から核の表面まで通り抜ける。核の半径が bb に比べて十分小さいとき、指数 2Θ2\Theta は Gamow の因子と呼ばれ、次の例題の形になる。

例題 4.7.6　Coulomb の障壁の指数 ★★

オリジナル質量 mm の粒子が Coulomb の障壁 V(r)=kC/rV(r)=k_{\mathrm C}/r（kC=2Ze2/(4πε0)k_{\mathrm C}=2Ze^2/(4\pi\varepsilon_0)）をエネルギー EE で通り抜ける。核の半径を 0 とみなす（0<r<b0<r<b、b=kC/Eb=k_{\mathrm C}/E の区間を通り抜ける）。

  1. (1) 2Θ=2ℏ∫0b2m(kC/r−E) dr2\Theta=\frac2\hbar\int_0^b\sqrt{2m(k_{\mathrm C}/r-E)}\,\mathrm{d} r を求め、粒子の遠方での速さ v=2E/mv=\sqrt{2E/m} を使って 2Θ=2πkC/(ℏv)2\Theta=2\pi k_{\mathrm C}/(\hbar v) と書けることを示せ。
  2. (2) α\alpha 粒子（mc2=3727 MeVmc^2=3727\,\mathrm{MeV}）、Z=90Z=90 で、E=4 MeVE=4\,\mathrm{MeV} と 5 MeV5\,\mathrm{MeV} の 2Θ2\Theta を求めよ。e2/(4πε0)=1.440 MeV fme^2/(4\pi\varepsilon_0)=1.440\,\mathrm{MeV\,fm}、ℏc=197.3 MeV fm\hbar c=197.3\,\mathrm{MeV\,fm} とする。
  3. (3) EE が 4 MeV4\,\mathrm{MeV} から 5 MeV5\,\mathrm{MeV} に変わると、e−2Θ\mathrm{e}^{-2\Theta} は何倍になるか。
解答

(1) r=bur=bu と置くと 2m(kC/r−E)=2mE1/u−1\sqrt{2m(k_{\mathrm C}/r-E)}=\sqrt{2mE}\sqrt{1/u-1} で、∫011/u−1 du=π/2\int_0^1\sqrt{1/u-1}\,\mathrm{d} u=\pi/2（u=sin⁡2ϑu=\sin^2\vartheta と置く）。よって

2Θ=2ℏ2mE  b  π2=πkC2mℏE=2πkCℏv.2\Theta=\frac2\hbar\sqrt{2mE}\;b\;\frac\pi2=\frac{\pi k_{\mathrm C}\sqrt{2m}}{\hbar\sqrt E}=\frac{2\pi k_{\mathrm C}}{\hbar v}.

(2) 2Θ=2π kCℏcmc22E2\Theta=2\pi\,\dfrac{k_{\mathrm C}}{\hbar c}\sqrt{\dfrac{mc^2}{2E}}、kC=2×90×1.440=259.2 MeV fmk_{\mathrm C}=2\times90\times1.440=259.2\,\mathrm{MeV\,fm} で、E=4 MeVE=4\,\mathrm{MeV} では 2π×1.314×21.59=1782\pi\times1.314\times21.59=178、E=5 MeVE=5\,\mathrm{MeV} では 159159（検算 scripts/verify_ch4-07.py）。

(3) 指数の差は 18.818.8 なので、e−2Θ\mathrm{e}^{-2\Theta} は e18.8≈1.5×108\mathrm{e}^{18.8}\approx1.5\times10^8 倍になる。エネルギーが 25% 変わるだけで透過率が8桁変わる。指数が 1/E1/\sqrt E に比例するので、透過率（したがって崩壊の速さ）の対数は Z/EZ/\sqrt E に比例して変わる。実際の核では半径 RR が有限で、∫Rb\int_R^b になる分だけ指数は小さくなるが、EE への敏感さはこの 1/E1/\sqrt E の形が主である。

木下の勉強ステータス

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AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com

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