この章のまとめ

(1) 粒子は $0<x<E/(mg)$ を往復する。$\oint p\,\mathrm{d} x=2\int_0^{E/(mg)}\sqrt{2m(E-mgx)}\,\mathrm{d} x=\dfrac{4\sqrt2}{3}\dfrac{E^{3/2}}{g\sqrt m}$ なので

$$J(E)=\frac{2\sqrt2}{3\pi}\,\frac{E^{3/2}}{g\sqrt m},\qquad T(E)=2\pi\frac{\mathrm{d} J}{\mathrm{d} E}=\frac{2\sqrt2\,E^{1/2}}{g\sqrt m}=\frac{2}{g}\sqrt{\frac{2E}{m}}=\frac{2v_0}{g}.$$

上がる時間 $v_0/g$ と落ちる時間 $v_0/g$ の和に一致する（検算 scripts/verify_ch4-07.py）。

(2) 1周で滑らかな転回点（最高点 $x=E/(mg)$）を1回、壁（鏡）を1回通るので $\mu_{\mathrm M}=1+2=3$。$J(E)=\hbar(n+\frac34)$ を $E$ について解くと

$$E_n^{\mathrm{WKB}}=\Bigl(\frac{3\pi\hbar g\sqrt m}{2\sqrt2}\Bigl(n+\frac34\Bigr)\Bigr)^{2/3}=\Bigl(\frac{3\pi}{2}\Bigl(n+\frac34\Bigr)\Bigr)^{2/3}\Bigl(\frac{\hbar^2mg^2}{2}\Bigr)^{1/3}.$$

(3) 一様な力 $F=mg$ の厳密解は、式 (4.7.15) で $z=(x-E/(mg))/\ell_{\mathrm g}$、$\ell_{\mathrm g}=(2m^2g/\hbar^2)^{-1/3}=(\hbar^2/(2m^2g))^{1/3}$ と置いた $\mathrm{Ai}(z)$ である。鏡の条件 $\psi(0)=0$ は $\mathrm{Ai}(-E/(mg\ell_{\mathrm g}))=0$ で、$mg\ell_{\mathrm g}=E_{\mathrm g}$ なので、厳密な準位は

$$E_n=-a_{n+1}\,E_{\mathrm g},\qquad n=0,1,2,\dots$$

である。数値で比べると（単位 $E_{\mathrm g}$）、

基底状態でも誤差は 1% 未満である（検算 scripts/verify_ch4-07.py）。鏡の側には転回点が無く、WKB が破れるのは最高点のまわりだけで、しかもそこは一様な力なので停留位相の $-\pi/4$ の精度が高い。壁を滑らかな転回点と同じに数えて $n+\frac12$ を使うと、基底状態は $(3\pi/4)^{2/3}=1.77$ となり、24% もずれる。

(4) $E_{\mathrm g}=\bigl((1.055\times10^{-34})^2\times1.675\times10^{-27}\times9.81^2/2\bigr)^{1/3}=9.64\times10^{-32}\,\mathrm J=0.602\,\mathrm{peV}$（$1\,\mathrm{peV}=10^{-12}\,\mathrm{eV}$）。基底状態は $E_0=2.338\,E_{\mathrm g}=1.41\,\mathrm{peV}$ で、古典の粒子が上がれる最高点は $E_0/(mg)=13.7\,\mathrm{\mu m}$ である。長さの単位 $\ell_{\mathrm g}=E_{\mathrm g}/(mg)=5.87\,\mathrm{\mu m}$ は、第1部第13章の $v_*^2/(2g)=3.7\,\mathrm{\mu m}$ と同じ組み合わせ $\hbar^{2/3}m^{-2/3}g^{-1/3}$ でできていて、比は $\ell_{\mathrm g}/(v_*^2/(2g))=2^{2/3}=1.59$ である（検算 scripts/verify_ch4-07.py）。最高点 $13.7\,\mathrm{\mu m}$ は $3.7\,\mathrm{\mu m}$ の $3.7$ 倍しかなく、鏡から最高点までの全体が古典極限の破れる長さの数倍に収まっている。4.7.1節の例題の言葉では、補正の目安 $\hbar g/(mv^3)$ は鏡の位置（速さ $v_0=16\,\mathrm{mm\,s^{-1}}$）でも $0.14$ あり、最高点から $3.7\,\mathrm{\mu m}$ 下より上（高さの約 27%）では 1 を超える。したがって、この状態は「鏡の上で跳ねる小さな粒」としては扱えず、波として扱うほかない。このような中性子の量子状態は、実際に鏡の上の中性子の透過を測る実験で観測されている¹1V. V. Nesvizhevsky et al. (2002), Nature 415, 297.下の脚注へ閉じる。WKB の準位が (3) のように 1% 以内で合うのは、この状況でも位相の数え方（Maslov の指数）が正しく、誤差が転回点の近くの層にしか生じないためである。

(5) 厳密な間隔は $(-a_{12})-(-a_{11})=14.5278-13.6914=0.8363\,E_{\mathrm g}$（零点の値は5桁目で丸めてある）。一方、(1) の $T(E)$ から $2\pi\hbar/T(E)=\pi\hbar g\sqrt m/\sqrt{2E}$ で、$\hbar g\sqrt m=\sqrt2\,E_{\mathrm g}^{3/2}$ を使うと$2\pi\hbar/T(E)=\pi E_{\mathrm g}/\sqrt{E/E_{\mathrm g}}$。中点 $E=14.110\,E_{\mathrm g}$ を入れると $0.8364\,E_{\mathrm g}$ で、厳密な間隔と4桁目まで一致する（検算 scripts/verify_ch4-07.py）。準位の間隔はエネルギーとともに $E^{-1/2}$ で狭くなり、これは高く跳ねるほど周期 $T\propto E^{1/2}$ が長くなることの量子版である。