この章で選ぶ $H$：パラメータを含む Hamiltonian と瞬間の固有状態

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第4部 第9章 §4.9.1　★★★ 外から動かすパラメータ $\bm{R}$ を含む $\hat H(\bm{R})$ を選び、各 $\bm{R}$ での固有状態 $| n(\bm{R}) \rangle$ を並べる。固有状態の位相は $\bm{R}$ ごとに自由に選べる

第1部第14章（第1部第14章）では、Hamiltonian に含まれるパラメータ $\lambda$ を周期に比べてゆっくり変えると、作用変数 $J$ がほとんど変わらないことを示した。理由は、$J$ の変化の速さ $\dot J=-\dot\lambda\,\partial\Lambda/\partial\theta$ が角変数 $\theta$ について振動していて、1周で平均すると $0$ になることだった。量子力学では作用変数は量子数で数えられる（第4部第4章の調和振動子では $J_n=(n+\frac12)\hbar$）。したがって古典の断熱不変性の量子版は「パラメータをゆっくり変えても、系は同じ番号の固有状態にとどまる」という主張になる。これを断熱定理と呼ぶ。

断熱定理の主張そのものは、第3部第5章（第3部第5章）で断熱消磁の計算に使い、証明の骨格は近似の数理 第7章（近似の数理 第7章）で示した。この章で扱うのは、断熱定理が言い残していることである。量子状態は固有状態の番号だけでなく位相も持つ。パラメータを1周させて元の Hamiltonian に戻したとき、状態は元の固有状態に戻るが、位相はエネルギーの時間積分 $-\frac1\hbar\int E_n\,\mathrm{d} t$ だけでは決まらず、パラメータが描いた閉曲線の形だけで決まる項 $\gamma_n$ が加わる。これを Berry 位相と呼ぶ¹1M. V. Berry (1984), Proc. R. Soc. Lond. A 392, 45–57.下の脚注へ閉じる。Berry 位相は、パラメータの空間で定義されるベクトルポテンシャル（Berry 接続）の周回積分として書け、その回転（Berry 曲率）は固有値が縮退する点に置いた磁気単極子の磁場の形になる。

解析力学の言葉では、この章の計算は次の2つの対応の上に組み立てる。第1に、時刻とともに動く固有状態の組を基底に選ぶことは、時刻を含む正準変換を行うことにあたり、新しい Hamiltonian に第1部第14章の $\dot\lambda\Lambda$ と同じ形の余分な項が付く。第2に、その余分な項のうち速く振動する部分は平均で消え（断熱定理）、振動しない部分が位相に残る（Berry 位相）。古典力学でも、ゆっくり1周させた可積分系の角変数には $\int\omega\,\mathrm{d} t$ のほかに幾何学的なずれが残り、Foucault の振り子の振動面の回転がその例になる。

4.9.1節でパラメータを含む Hamiltonian とその瞬間の固有状態を選び、4.9.2節で動く基底への変換と断熱定理を当てる。4.9.3節から4.9.5節が「出てくるもの」で、Berry 位相とそのゲージ不変性、Berry 曲率と縮退点の単極子、Aharonov–Bohm 効果と Foucault の振り子を順に扱う。4.9.6節では、授業の断熱近似の式と Born–Oppenheimer 近似の式に、この章の項を書き足して並べる。

選ぶ Hamiltonian

この章で選ぶのは、外から動かすことのできるパラメータの組 $\bm{R}=(R_1,R_2,\dots)$ を含む Hamiltonian

$$\hat H=\hat H(\bm{R}),\qquad \bm{R}=\bm{R}(t)\tag{4.9.1}$$

である。$\bm{R}$ は系の力学変数ではなく、実験者が決める時刻の関数で、磁場の向き、閉じ込めのポテンシャルの位置、分子の中の原子核の位置などにあたる。第1部第14章と第3部第5章で使った1つのパラメータ $\lambda$ を、複数の成分を持つ $\bm{R}$ に広げたものである。成分が2つ以上あることが、この章では本質になる。パラメータが1つだけなら、$\lambda$ を変えて元に戻す道は行って帰る往復しかないが、2つ以上あれば、面積を囲む閉曲線を描いて元に戻ることができる。

各 $\bm{R}$ を止めたときの固有値問題

$$\hat H(\bm{R})| n(\bm{R}) \rangle =E_n(\bm{R})| n(\bm{R}) \rangle ,\qquad \langle m(\bm{R}) | n(\bm{R}) \rangle =\delta_{mn}\tag{4.9.2}$$

の解を瞬間の固有状態、$E_n(\bm{R})$ を瞬間の固有値と呼ぶ。この章では、注目する準位 $E_n(\bm{R})$ が考える範囲の $\bm{R}$ で縮退しない（ほかの準位と離れている）とする。離れている度合いをギャップ

$$g=\min_{\bm{R}}\min_{m\neq n}\lvert E_m(\bm{R})-E_n(\bm{R})\rvert\tag{4.9.3}$$

で測る。

固有状態の位相は決まっていない

式 (4.9.2) は、$| n(\bm{R}) \rangle$ を位相因子 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\chi(\bm{R})}$ 倍しても成り立つ。$\chi(\bm{R})$ は $\bm{R}$ の任意の実関数でよい。つまり、瞬間の固有状態は「方向」（Hilbert 空間の中の1次元の部分空間）までは $\hat H(\bm{R})$ で決まるが、各 $\bm{R}$ での位相は決まらない。数値計算で $\hat H(\bm{R})$ を対角化すると、固有ベクトルの位相は $\bm{R}$ ごとにでたらめに出てくる。この自由度を変える操作

$$| n(\bm{R}) \rangle \ \to\ \mathrm{e}^{\mathrm{i}\chi(\bm{R})}| n(\bm{R}) \rangle\tag{4.9.4}$$

を、電磁気のゲージ変換になぞらえてゲージ変換と呼ぶ。名前だけの類似ではなく、4.9.3節で見るとおり、この変換で Berry 接続が $\bm{A}_n\to\bm{A}_n-\nabla_{\bm{R}}\chi$ と電磁場のベクトルポテンシャルと同じ形で変わる。物理的な結果は、ゲージ変換で変わらない量で書けなければならない。

古典力学の対応物は、作用角変数の角変数 $\theta$ の原点の選び方である。第1部第14章では各 $\lambda$ で角変数を定めたが、どこを $\theta=0$ に選ぶかは $\lambda$ ごとに自由だった。その選び方を $\lambda$ によって変えると、母関数 $W(q,J;\lambda)$ の $\lambda$ 依存性が変わり、$\Lambda=\partial W/\partial\lambda$ も変わる。量子力学では、角変数の原点の自由度が固有状態の位相の自由度になっている。

例：磁場の中のスピン $\frac12$

この章を通して使う例は、向きを変えられる磁場の中のスピン $\frac12$ である。電子のスピンの Hamiltonian $-\hat{\bm{\mu}}\cdot\bm{B}=\mu_{\mathrm B}\bm{B}\cdot\bm{\sigma}$（$g\approx2$）を、エネルギーの次元を持つベクトル $\bm{R}=\mu_{\mathrm B}\bm{B}$ で書くと

$$\hat H(\bm{R})=\bm{R}\cdot\bm{\sigma}=R_x\sigma_x+R_y\sigma_y+R_z\sigma_z\tag{4.9.5}$$

になる。パラメータの空間は3次元で、$\bm{R}$ を極座標 $(R,\theta,\varphi)$ で書き、向きを単位ベクトル $\bm{n}=(\sin\theta\cos\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta)$ で表す。$(\bm{n}\cdot\bm{\sigma})^2=1$ なので固有値は $E_\pm=\pm R$、ギャップは $2R$ で、$\bm{R}=0$ でだけ2つの準位が縮退する。固有状態は

$$| +(\bm{R}) \rangle =\begin{pmatrix}\cos\frac\theta2\\[2pt] \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}\sin\frac\theta2\end{pmatrix},\qquad | -(\bm{R}) \rangle =\begin{pmatrix}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varphi}\sin\frac\theta2\\[2pt] \cos\frac\theta2\end{pmatrix}\tag{4.9.6}$$

と選べる。$| + \rangle$ はスピンが $\bm{n}$ の向きを向いた状態（$\langle \bm{\sigma} \rangle =\bm{n}$）で、エネルギーは高い方である。固有状態は $R=\lvert \bm{R}\rvert$ に依らず、向き $(\theta,\varphi)$ だけで決まる。

式 (4.9.6) の位相の選び方には癖がある。北極 $\theta=0$ では $| + \rangle =(1,0)$ で $\varphi$ に依らないが、南極 $\theta=\pi$ では $| + \rangle =(0,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi})$ となり、同じ点 $\bm{n}=(0,0,-1)$ なのに $\varphi$ ごとに違うベクトルになってしまう。全体に $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varphi}$ を掛けると南極ではよくなるが、今度は北極で $\varphi$ に依る。球面全体で滑らかで1価な位相の選び方は存在しない。この事実は4.9.4節で、縮退点 $\bm{R}=0$ に単極子があることとして説明される。

1　M. V. Berry (1984), Proc. R. Soc. Lond. A 392, 45–57.