出てくるもの (1)：Berry 位相

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第4部 第9章 §4.9.3　★★★ 断熱的に1周させた状態は、動的位相のほかに $\gamma_n=\oint\bm{A}_n\cdot\mathrm{d}\bm{R}$ を拾う。$\bm{A}_n=\mathrm{i}\langle n | \nabla_{\bm{R}}n \rangle$ はゲージ変換で $\bm{A}_n-\nabla\chi$ と変わり、閉曲線の積分は変わらない

残った対角の項

断熱定理が成り立つとき、式 (4.9.8) の非対角の項を落とし、$c_n(0)=1$ の成分だけを追えばよい：

$$\dot c_n=-c_n\langle n | \dot n \rangle =-c_n\,\dot{\bm{R}}\cdot\langle n | \nabla_{\bm{R}}n \rangle .$$

$\langle n | \dot n \rangle$ は純虚数なので、解は絶対値1の位相因子 $c_n(t)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\gamma_n(t)}$ で、

$$| \psi(t) \rangle =\mathrm{e}^{\mathrm{i}\gamma_n(t)}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\eta_n(t)}| n(\bm{R}(t)) \rangle ,\qquad \gamma_n(t)=\int_{\bm{R}(0)}^{\bm{R}(t)}\bm{A}_n(\bm{R})\cdot\mathrm{d}\bm{R}\tag{4.9.12}$$

となる。ここで

$$\bm{A}_n(\bm{R})=\mathrm{i}\langle n(\bm{R}) | \nabla_{\bm{R}}n(\bm{R}) \rangle\tag{4.9.13}$$

を Berry 接続と呼ぶ。$\langle n | \nabla n \rangle$ が純虚数なので $\bm{A}_n$ は実数のベクトルである。4.9.2節の動く基底の言葉では、式 (4.9.9) の新しい Hamiltonian の対角要素が $E_n-\hbar\dot{\bm{R}}\cdot\bm{A}_n$ になり、その時間積分を $-\frac1\hbar$ 倍したものが $-\eta_n+\gamma_n$ である。

式 (4.9.12) の $\gamma_n$ は時間の積分でなく、パラメータ空間の道に沿った線積分になっている。$\bm{R}(t)$ を同じ道に沿って2倍の速さで動かしても、$\mathrm{d}\bm{R}$ の積分は同じである。動的位相 $\eta_n$ はかかった時間に比例するのに対し、$\gamma_n$ は通った道の形だけで決まる。この性質を「幾何学的」と呼ぶ。

ゲージ変換と閉じた道

式 (4.9.4) のゲージ変換 $| n \rangle \to\mathrm{e}^{\mathrm{i}\chi(\bm{R})}| n \rangle$ をすると

$$\mathrm{i}\langle n | \nabla n \rangle \ \to\ \mathrm{i}\langle n |\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\chi}\nabla\bigl(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\chi}| n \rangle \bigr)=\mathrm{i}\langle n | \nabla n \rangle -\nabla\chi, \qquad\text{つまり}\quad \bm{A}_n\to\bm{A}_n-\nabla_{\bm{R}}\chi$$

と変わる。電磁場のベクトルポテンシャルのゲージ変換と同じ形である。したがって開いた道の $\gamma_n$ は $\chi(\text{終点})-\chi(\text{始点})$ だけ変わり、固有状態の位相の選び方で好きな値にすることができる。固有状態 $| n(\bm{R}(t)) \rangle$ 自身の位相も同じだけ変わるので、状態 $| \psi(t) \rangle$ は変わらない。開いた道では $\gamma_n$ に物理的な意味はない。

道が閉じていて $\bm{R}(T)=\bm{R}(0)$ のとき、$\chi$ が1価なら $\chi(\bm{R}(T))-\chi(\bm{R}(0))=0$ で、

$$\gamma_n(C)=\oint_C\bm{A}_n\cdot\mathrm{d}\bm{R}\tag{4.9.14}$$

はゲージ変換で変わらない。$\chi$ が1周で $2\pi$ の整数倍だけ変わる選び方も許すと、$\gamma_n(C)$ は $2\pi$ を法として決まる。このとき $| n(\bm{R}(T)) \rangle =| n(\bm{R}(0)) \rangle$ なので、終わりの状態は初めの状態の

$$| \psi(T) \rangle =\mathrm{e}^{\mathrm{i}\gamma_n(C)}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\eta_n(T)}| \psi(0) \rangle$$

倍になる。動的位相と並んで、閉曲線 $C$ で決まる位相 $\gamma_n(C)$ が観測できる量として残る。これが Berry 位相である。全体の位相は1つの状態だけでは観測できないが、別の道を通った状態や別の準位の状態と重ね合わせると、干渉の縞のずれとして測ることができる。

スピン $\frac12$ の Berry 位相

式 (4.9.6) の $| + \rangle$ で Berry 接続を計算する。$\bm{R}$ の向きだけに依るので、$\theta$ と $\varphi$ の微分を計算すればよい。$\partial_\theta| + \rangle =\frac12(-\sin\frac\theta2,\ \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}\cos\frac\theta2)^{\mathsf T}$ と $| + \rangle$ の内積は $0$、$\partial_\varphi| + \rangle =(0,\ \mathrm{i}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}\sin\frac\theta2)^{\mathsf T}$ との内積は $\mathrm{i}\sin^2\frac\theta2$ なので、

$$\bm{A}_+\cdot\mathrm{d}\bm{R}=\mathrm{i}\langle + | \partial_\varphi+ \rangle \,\mathrm{d}\varphi=-\sin^2\frac\theta2\,\mathrm{d}\varphi\tag{4.9.15}$$

である。$\bm{R}$ が極角 $\theta_0$ の円を $\varphi$ の増える向き（$z$ 軸の正の側から見て反時計回り）に1周すると

$$\gamma_+(C)=-2\pi\sin^2\frac{\theta_0}{2}=-\pi(1-\cos\theta_0)=-\frac12\,\Theta_C,\qquad \Theta_C=2\pi(1-\cos\theta_0)\tag{4.9.16}$$

となる。$\Theta_C$ は、原点から見て円 $C$ が張る立体角（単位球面の上の北極側の帽子の面積）である（図 4.9.1）。スピン $\frac12$ の Berry 位相は、磁場の向きが描いた閉曲線の立体角の $-\frac12$ 倍になる。磁場の強さ $R$ にも、1周にかけた時間にも依らない。反対向きの状態 $| - \rangle$ では同じ計算で $\gamma_-(C)=+\frac12\Theta_C$ になる。

角運動量 $m$ の状態と回転の生成子

式 (4.9.16) は、第1部第9章（第1部第9章）の生成子の言葉で一般のスピンに広げることができる。角運動量 $j$ の系が $\hat H=\frac{b}{\hbar}\,\bm{n}\cdot\hat{\bm{J}}$ に従うとき、$\bm{n}$ の向きの成分が $m\hbar$ の固有状態は、$z$ 向きの $| m \rangle$ を回転させて

$$| m;\bm{n} \rangle =\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varphi(\hat J_z/\hbar-m)}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta\hat J_y/\hbar}| m \rangle$$

と作ることができる。$\hat J_y/\hbar$ と $\hat J_z/\hbar$ は回転の生成子（第4部第5章）で、$\mathrm{e}^{\mathrm{i} m\varphi}$ の因子は北極で1価にするために付けた。$\partial_\varphi$ は先頭の因子から $-\mathrm{i}(\hat J_z/\hbar-m)$ を下ろすので

$$A_\varphi=\mathrm{i}\langle m;\bm{n} | \partial_\varphi\, m;\bm{n} \rangle =\frac{1}{\hbar}\langle m | \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta\hat J_y/\hbar}\hat J_z\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta\hat J_y/\hbar} | m \rangle -m=m\cos\theta-m$$

であり（$\hat J_z$ を $y$ 軸のまわりに回すと $\hat J_z\cos\theta-\hat J_x\sin\theta$ で、$| m \rangle$ での $\hat J_x$ の期待値は $0$）、$\theta$ 成分は $\langle \hat J_y \rangle =0$ から $0$ になる。よって

$$\gamma_m(C)=-m\,\Theta_C\tag{4.9.17}$$

を得る。$m=\frac12$ が式 (4.9.16) である。Berry 位相は、角運動量の成分 $m$ と、軸の向きが描いた立体角の積になる。$\Theta_C$ は回転の角度を立体角に置き換えたもので、軸を $z$ 軸のまわりに角 $\alpha$ だけ回す変換が $\mathrm{e}^{-\mathrm{i} m\alpha}$ を与えることの、閉じた道に対する版になっている。

式 (4.9.16) は断熱極限の値である。例題 4.9.2 の回る枠を使うと、有限の速さでも厳密な解が書けるので、断熱極限からのずれを見ることができる。1周 $T=2\pi/\omega$ の後の $\arg\langle +(\bm{R}(0)) | \psi(T) \rangle$ から動的位相 $-bT/\hbar$ を引いた量を数値で求め、$-\pi(1-\cos\theta_0)$ と比べたのが図 4.9.2 である。$\hat H'$ の固有値 $R'=\sqrt{b^2-b\hbar\omega\cos\theta_0+\hbar^2\omega^2/4}$ を $\hbar\omega/b$ で展開すると、ずれは $-\frac\pi4(\hbar\omega/b)\sin^2\theta_0$ で、$\hbar\omega/b\to0$ で Berry 位相に収束する（検算 verify_ch4-09.py）。