解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部 第9章 §4.9.2 ★★★ 瞬間の固有状態を基底にとるのは時刻を含む正準変換で、新しい Hamiltonian に − i ℏ ⟨ m ∣ n ˙ ⟩ -\mathrm{i}\hbar\langle m | \dot n \rangle − i ℏ ⟨ m ∣ n ˙ ⟩
時刻を含む変換で付く項
第1部第14章では、時刻を含む母関数 W ( q , J ; λ ( t ) ) W(q,J;\lambda(t)) W ( q , J ; λ ( t ))
K = H ( J ; λ ) + λ ˙ Λ ( θ , J ; λ ) , Λ = ( ∂ W ∂ λ ) q , J K=H(J;\lambda)+\dot\lambda\,\Lambda(\theta,J;\lambda),\qquad \Lambda=\Bigl(\frac{\partial W}{\partial\lambda}\Bigr)_{q,J} K = H ( J ; λ ) + λ ˙ Λ ( θ , J ; λ ) , Λ = ( ∂ λ ∂ W ) q , J
になることを使った（第1部第12章の K = H + ∂ F / ∂ t K=H+\partial F/\partial t K = H + ∂ F / ∂ t
∣ ψ ( t ) ⟩ = ∑ n c n ( t ) e − i η n ( t ) ∣ n ( R ( t ) ) ⟩ , η n ( t ) = 1 ℏ ∫ 0 t E n ( R ( t ′ ) ) d t ′ (4.9.7) | \psi(t) \rangle =\sum_nc_n(t)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\eta_n(t)}| n(\bm{R}(t)) \rangle ,\qquad \eta_n(t)=\frac1\hbar\int_0^tE_n(\bm{R}(t'))\,\mathrm{d} t'\tag{4.9.7} ∣ ψ ( t )⟩ = n ∑ c n ( t ) e − i η n ( t ) ∣ n ( R ( t ))⟩ , η n ( t ) = ℏ 1 ∫ 0 t E n ( R ( t ′ )) d t ′ ( 4.9.7 )
と書く。η n \eta_n η n 動的位相 と呼ぶ。R \bm{R} R c n c_n c n i ℏ d d t ∣ ψ ⟩ = H ^ ∣ ψ ⟩ \mathrm{i}\hbar\,\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}| \psi \rangle =\hat H| \psi \rangle i ℏ d t d ∣ ψ ⟩ = H ^ ∣ ψ ⟩ H ^ ∣ n ⟩ = E n ∣ n ⟩ \hat H| n \rangle =E_n| n \rangle H ^ ∣ n ⟩ = E n ∣ n ⟩ η ˙ n \dot\eta_n η ˙ n ∣ n ⟩ | n \rangle ∣ n ⟩ ∣ n ˙ ⟩ = R ˙ ⋅ ∣ ∇ R n ⟩ | \dot n \rangle =\dot{\bm{R}}\cdot| \nabla_{\bm{R}}n \rangle ∣ n ˙ ⟩ = R ˙ ⋅ ∣ ∇ R n ⟩
∑ n ( c ˙ n ∣ n ⟩ + c n ∣ n ˙ ⟩ ) e − i η n = 0. \sum_n\bigl(\dot c_n| n \rangle +c_n| \dot n \rangle \bigr)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\eta_n}=0. n ∑ ( c ˙ n ∣ n ⟩ + c n ∣ n ˙ ⟩ ) e − i η n = 0.
左から ⟨ m ∣ e i η m \langle m |\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\eta_m} ⟨ m ∣ e i η m
c ˙ m = − c m ⟨ m ∣ m ˙ ⟩ − ∑ n ≠ m c n ⟨ m ∣ n ˙ ⟩ e i ( η m − η n ) (4.9.8) \dot c_m=-c_m\langle m | \dot m \rangle -\sum_{n\neq m}c_n\langle m | \dot n \rangle \,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\eta_m-\eta_n)}\tag{4.9.8} c ˙ m = − c m ⟨ m ∣ m ˙ ⟩ − n = m ∑ c n ⟨ m ∣ n ˙ ⟩ e i ( η m − η n ) ( 4.9.8 )
を得る。ここまで近似はしていない。
式 (4.9.8) を、動く基底での Hamiltonian の形に読み直しておく。時刻とともに回るユニタリ変換 U ^ ( t ) = ∑ n ∣ n ( R ( t ) ) ⟩ ⟨ n ( R ( 0 ) ) ∣ \hat U(t)=\sum_n| n(\bm{R}(t)) \rangle \langle n(\bm{R}(0)) | U ^ ( t ) = ∑ n ∣ n ( R ( t ))⟩ ⟨ n ( R ( 0 )) ∣ ∣ ψ ⟩ = U ^ ∣ ϕ ⟩ | \psi \rangle =\hat U| \phi \rangle ∣ ψ ⟩ = U ^ ∣ ϕ ⟩ ∣ ϕ ⟩ | \phi \rangle ∣ ϕ ⟩
i ℏ d d t ∣ ϕ ⟩ = ( U ^ † H ^ U ^ − i ℏ U ^ † d U ^ d t ) ∣ ϕ ⟩ (4.9.9) \mathrm{i}\hbar\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}| \phi \rangle =\Bigl(\hat U^\dagger\hat H\hat U-\mathrm{i}\hbar\,\hat U^\dagger\frac{\mathrm{d} \hat U}{\mathrm{d} t}\Bigr)| \phi \rangle\tag{4.9.9} i ℏ d t d ∣ ϕ ⟩ = ( U ^ † H ^ U ^ − i ℏ U ^ † d t d U ^ ) ∣ ϕ ⟩ ( 4.9.9 )
に従う。第1項は対角行列 d i a g ( E n ) \mathrm{diag}(E_n) diag ( E n ) − i ℏ ⟨ m ∣ n ˙ ⟩ -\mathrm{i}\hbar\langle m | \dot n \rangle − i ℏ ⟨ m ∣ n ˙ ⟩ 第1部第12章 ）で「ユニタリ変換は正準変換の量子版」としたとおり、時刻を含むユニタリ変換は Hamiltonian に − i ℏ U ^ † U ^ ˙ -\mathrm{i}\hbar\hat U^\dagger\dot{\hat U} − i ℏ U ^ † U ^ ˙ ∂ F / ∂ t \partial F/\partial t ∂ F / ∂ t λ ˙ Λ \dot\lambda\Lambda λ ˙ Λ λ ˙ \dot\lambda λ ˙ R ˙ \dot{\bm{R}} R ˙
非対角の項と対角の項
余分な項の非対角要素は、H ^ ∣ n ⟩ = E n ∣ n ⟩ \hat H| n \rangle =E_n| n \rangle H ^ ∣ n ⟩ = E n ∣ n ⟩ ⟨ m ∣ \langle m | ⟨ m ∣
⟨ m ∣ n ˙ ⟩ = ⟨ m ∣ H ^ ˙ ∣ n ⟩ E n − E m = R ˙ ⋅ ⟨ m ∣ ∇ R H ^ ∣ n ⟩ E n − E m ( m ≠ n ) . (4.9.10) \langle m | \dot n \rangle =\frac{\langle m | \dot{\hat H} | n \rangle }{E_n-E_m}=\dot{\bm{R}}\cdot\frac{\langle m | \nabla_{\bm{R}}\hat H | n \rangle }{E_n-E_m}\qquad(m\neq n).\tag{4.9.10} ⟨ m ∣ n ˙ ⟩ = E n − E m ⟨ m ∣ H ^ ˙ ∣ n ⟩ = R ˙ ⋅ E n − E m ⟨ m ∣ ∇ R H ^ ∣ n ⟩ ( m = n ) . ( 4.9.10 )
こちらは固有状態の位相の選び方に依らない大きさを持ち、隣の準位への「漏れ」を起こす。対角要素 ⟨ n ∣ n ˙ ⟩ \langle n | \dot n \rangle ⟨ n ∣ n ˙ ⟩ (4.9.10) の形には書けず、位相の選び方に依る。規格化 ⟨ n ∣ n ⟩ = 1 \langle n | n \rangle =1 ⟨ n ∣ n ⟩ = 1 ⟨ n ˙ ∣ n ⟩ + ⟨ n ∣ n ˙ ⟩ = 2 Re ⟨ n ∣ n ˙ ⟩ = 0 \langle \dot n | n \rangle +\langle n | \dot n \rangle =2\operatorname{Re}\langle n | \dot n \rangle =0 ⟨ n ˙ ∣ n ⟩ + ⟨ n ∣ n ˙ ⟩ = 2 Re ⟨ n ∣ n ˙ ⟩ = 0 ⟨ n ∣ n ˙ ⟩ \langle n | \dot n \rangle ⟨ n ∣ n ˙ ⟩
第1部第14章の議論と並べると、2つの項の役割がはっきりする。古典では J ˙ = − λ ˙ ∂ Λ / ∂ θ \dot J=-\dot\lambda\,\partial\Lambda/\partial\theta J ˙ = − λ ˙ ∂ Λ/ ∂ θ θ \theta θ 0 0 0 (4.9.8) の非対角の項が位相因子 e i ( η m − η n ) \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\eta_m-\eta_n)} e i ( η m − η n ) ( E m − E n ) / ℏ (E_m-E_n)/\hbar ( E m − E n ) /ℏ ⟨ m ∣ n ˙ ⟩ \langle m | \dot n \rangle ⟨ m ∣ n ˙ ⟩ − c m ⟨ m ∣ m ˙ ⟩ -c_m\langle m | \dot m \rangle − c m ⟨ m ∣ m ˙ ⟩ Λ \Lambda Λ θ \theta θ 4.9.3 節で扱う。
断熱定理
非対角の項が打ち消すことを、部分積分で大きさまで見積もったものが断熱定理である。証明の骨格は近似の数理 第7章（近似の数理 第7章 ）にあり、ここでは主張だけを書く。
定理 4.9.1（断熱定理 ★★★）
H ^ ( R ( t ) ) \hat H(\bm{R}(t)) H ^ ( R ( t )) E n E_n E n g > 0 g>0 g > 0 R ( t ) \bm{R}(t) R ( t ) 0 0 0 ∣ n ( R ( 0 ) ) ⟩ | n(\bm{R}(0)) \rangle ∣ n ( R ( 0 ))⟩
ϵ = ℏ ∣ R ˙ ∣ ∥ ∇ R H ^ ∥ g 2 ≪ 1 (4.9.11) \epsilon=\frac{\hbar\,\lvert \dot{\bm{R}}\rvert \,\lVert \nabla_{\bm{R}}\hat H\rVert }{g^2}\ll1\tag{4.9.11} ϵ = g 2 ℏ ∣ R ˙ ∣ ∥ ∇ R H ^ ∥ ≪ 1 ( 4.9.11 )
のとき、時刻 t t t ∣ n ( R ( t ) ) ⟩ | n(\bm{R}(t)) \rangle ∣ n ( R ( t ))⟩ O ( ϵ ) \mathcal{O}(\epsilon) O ( ϵ )
式 (4.9.11) の分母が g g g g 2 g^2 g 2 (4.9.10) の分母の E n − E m E_n-E_m E n − E m ℏ / ( E n − E m ) \hbar/(E_n-E_m) ℏ/ ( E n − E m ) g g g 1 1 M. Born and V. Fock (1928), Z. Phys. 51 , 165–180.2 2 T. Kato (1950), J. Phys. Soc. Jpn. 5 , 435–439.
ギャップが小さくなる所を速く通ると、断熱定理は成り立たない。ギャップの最小値 g g g 近似の数理 第7章 で数値と比べた。
近似の裏付け
型 B（極限） ｜ 小さいもの ϵ = ℏ ∣ R ˙ ∣ ∥ ∇ R H ^ ∥ / g 2 → 0 \epsilon=\hbar\lvert \dot{\bm{R}}\rvert \,\lVert \nabla_{\bm{R}}\hat H\rVert /g^2\to0 ϵ = ℏ ∣ R ˙ ∣ ∥ ∇ R H ^ ∥ / g 2 → 0 証明 条件付き（注目する固有値が孤立し、変化のあいだギャップ g g g 0 0 0 行き先 近似の数理 第7章
例題 4.9.2 回る磁場に追随するスピン ★★
オリジナル 式 (4.9.5) で、大きさ b b b R \bm{R} R z z z θ 0 \theta_0 θ 0 ω \omega ω R ( t ) = b ( sin θ 0 cos ω t , sin θ 0 sin ω t , cos θ 0 ) \bm{R}(t)=b(\sin\theta_0\cos\omega t,\ \sin\theta_0\sin\omega t,\ \cos\theta_0) R ( t ) = b ( sin θ 0 cos ω t , sin θ 0 sin ω t , cos θ 0 ) 0 0 0 ∣ + ( R ( 0 ) ) ⟩ | +(\bm{R}(0)) \rangle ∣ + ( R ( 0 ))⟩
(1) ∣ ψ ⟩ = e − i ω t σ z / 2 ∣ χ ⟩ | \psi \rangle =\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t\sigma_z/2}| \chi \rangle ∣ ψ ⟩ = e − i ω t σ z /2 ∣ χ ⟩ ∣ χ ⟩ | \chi \rangle ∣ χ ⟩ H ^ ′ = b sin θ 0 σ x + ( b cos θ 0 − ℏ ω 2 ) σ z \hat H'=b\sin\theta_0\,\sigma_x+(b\cos\theta_0-\frac{\hbar\omega}{2})\sigma_z H ^ ′ = b sin θ 0 σ x + ( b cos θ 0 − 2 ℏ ω ) σ z (2) H ^ ′ \hat H' H ^ ′ R ( 0 ) \bm{R}(0) R ( 0 ) β \beta β θ 0 = π / 2 \theta_0=\pi/2 θ 0 = π /2 tan β = ℏ ω / ( 2 b ) \tan\beta=\hbar\omega/(2b) tan β = ℏ ω / ( 2 b ) ∣ − ( R ( t ) ) ⟩ | -(\bm{R}(t)) \rangle ∣ − ( R ( t ))⟩ sin 2 β \sin^2\beta sin 2 β ℏ ω / ( 2 b ) = 0.1 \hbar\omega/(2b)=0.1 ℏ ω / ( 2 b ) = 0.1 (3) 電子のスピンで B = 1 T B=1\,\mathrm T B = 1 T b = μ B B b=\mu_{\mathrm B}B b = μ B B 1 μ s 1\,\mu\mathrm s 1 μ s θ 0 = π / 2 \theta_0=\pi/2 θ 0 = π /2 ℏ ω / ( 2 b ) \hbar\omega/(2b) ℏ ω / ( 2 b ) μ B = 9.274 × 10 − 24 J T − 1 \mu_{\mathrm B}=9.274\times10^{-24}\,\mathrm{J\,T^{-1}} μ B = 9.274 × 1 0 − 24 J T − 1 ℏ = 1.0546 × 10 − 34 J s \hbar=1.0546\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s} ℏ = 1.0546 × 1 0 − 34 J s
解答 (1) V ^ ( t ) = e − i ω t σ z / 2 \hat V(t)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t\sigma_z/2} V ^ ( t ) = e − i ω t σ z /2 z z z ω t \omega t ω t V ^ † ( σ x cos ω t + σ y sin ω t ) V ^ = σ x \hat V^\dagger(\sigma_x\cos\omega t+\sigma_y\sin\omega t)\hat V=\sigma_x V ^ † ( σ x cos ω t + σ y sin ω t ) V ^ = σ x e i α σ z / 2 σ ± e − i α σ z / 2 = e ± i α σ ± \mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha\sigma_z/2}\sigma_\pm\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha\sigma_z/2}=\mathrm{e}^{\pm\mathrm{i}\alpha}\sigma_\pm e i α σ z /2 σ ± e − i α σ z /2 = e ± i α σ ± (4.9.9) と同じ計算でH ^ ′ = V ^ † H ^ V ^ − i ℏ V ^ † V ^ ˙ = b ( sin θ 0 σ x + cos θ 0 σ z ) − i ℏ ⋅ ( − i ω σ z / 2 ) \hat H'=\hat V^\dagger\hat H\hat V-\mathrm{i}\hbar\hat V^\dagger\dot{\hat V}=b(\sin\theta_0\sigma_x+\cos\theta_0\sigma_z)-\mathrm{i}\hbar\cdot(-\mathrm{i}\omega\sigma_z/2) H ^ ′ = V ^ † H ^ V ^ − i ℏ V ^ † V ^ ˙ = b ( sin θ 0 σ x + cos θ 0 σ z ) − i ℏ ⋅ ( − i ω σ z /2 ) − ℏ ω 2 σ z -\frac{\hbar\omega}{2}\sigma_z − 2 ℏ ω σ z H ^ ′ \hat H' H ^ ′ ω \omega ω ℏ 2 σ z \frac\hbar2\sigma_z 2 ℏ σ z L z L_z L z − ω -\omega − ω
(2) H ^ ′ \hat H' H ^ ′ R ′ ⋅ σ \bm{R}'\cdot\bm{\sigma} R ′ ⋅ σ R ′ = ( b sin θ 0 , 0 , b cos θ 0 − ℏ ω / 2 ) \bm{R}'=(b\sin\theta_0,\,0,\,b\cos\theta_0-\hbar\omega/2) R ′ = ( b sin θ 0 , 0 , b cos θ 0 − ℏ ω /2 ) θ ′ \theta' θ ′ tan θ ′ = b sin θ 0 / ( b cos θ 0 − ℏ ω / 2 ) \tan\theta'=b\sin\theta_0/(b\cos\theta_0-\hbar\omega/2) tan θ ′ = b sin θ 0 / ( b cos θ 0 − ℏ ω /2 ) θ 0 = π / 2 \theta_0=\pi/2 θ 0 = π /2 tan θ ′ = − 2 b / ( ℏ ω ) \tan\theta'=-2b/(\hbar\omega) tan θ ′ = − 2 b / ( ℏ ω ) θ ′ = π / 2 + β \theta'=\pi/2+\beta θ ′ = π /2 + β tan β = ℏ ω / ( 2 b ) \tan\beta=\hbar\omega/(2b) tan β = ℏ ω / ( 2 b ) R ( 0 ) \bm{R}(0) R ( 0 ) β \beta β R ′ \bm{R}' R ′ sin 2 β sin 2 ( R ′ t / ℏ ) \sin^2\beta\,\sin^2(R't/\hbar) sin 2 β sin 2 ( R ′ t /ℏ ) sin 2 β \sin^2\beta sin 2 β ℏ ω / ( 2 b ) = 0.1 \hbar\omega/(2b)=0.1 ℏ ω / ( 2 b ) = 0.1 β = arctan 0.1 = 0.0997 \beta=\arctan0.1=0.0997 β = arctan 0.1 = 0.0997 sin 2 β = 0.00990 \sin^2\beta=0.00990 sin 2 β = 0.00990 ∣ − ( R ( t ) ) ⟩ | -(\bm{R}(t)) \rangle ∣ − ( R ( t ))⟩ 0.00990 0.00990 0.00990 verify_ch4-09.py）。β ≈ ℏ ω 2 b sin θ 0 \beta\approx\frac{\hbar\omega}{2b}\sin\theta_0 β ≈ 2 b ℏ ω sin θ 0 (4.9.11) の ϵ \epsilon ϵ
(3) b = μ B × 1 T = 9.274 × 10 − 24 J b=\mu_{\mathrm B}\times1\,\mathrm T=9.274\times10^{-24}\,\mathrm J b = μ B × 1 T = 9.274 × 1 0 − 24 J ω = 2 π / ( 1 μ s ) = 6.283 × 10 6 s − 1 \omega=2\pi/(1\,\mu\mathrm s)=6.283\times10^{6}\,\mathrm s^{-1} ω = 2 π / ( 1 μ s ) = 6.283 × 1 0 6 s − 1 ℏ ω / ( 2 b ) = 6.626 × 10 − 28 / ( 1.855 × 10 − 23 ) = 3.57 × 10 − 5 \hbar\omega/(2b)=6.626\times10^{-28}/(1.855\times10^{-23})=3.57\times10^{-5} ℏ ω / ( 2 b ) = 6.626 × 1 0 − 28 / ( 1.855 × 1 0 − 23 ) = 3.57 × 1 0 − 5 ( 3.57 × 10 − 5 ) 2 = 1.3 × 10 − 9 (3.57\times10^{-5})^2=1.3\times10^{-9} ( 3.57 × 1 0 − 5 ) 2 = 1.3 × 1 0 − 9
1 M. Born and V. Fock (1928), Z. Phys. 51 , 165–180.
2 T. Kato (1950), J. Phys. Soc. Jpn. 5 , 435–439.
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
