出てくるもの（3）：時間で決まる幅、Ramsey 干渉と断熱急速通過

光学と量子エレクトロニクス　第24章 §24.4　★★★ 光と原子が相互作用する時間 $t$ が有限だと、線は $1/t$ より細くならない。時間を2つの短いパルスで挟んで干渉させる Ramsey の方法では縞の幅が自由な時間だけで決まり、周波数を掃引する断熱急速通過では不均一な集団がまとめて反転する

通過時間による広がり

これまでは、原子が光の中にいつまでもとどまり、定常状態に達するとした。実際の原子はビームを横切って出ていく。半径 $w$ の Gauss ビーム（電場の振幅が $\mathrm{e}^{-r^2/w^2}$）を速さ $v$ で横切る原子は、電場の振幅が $\mathrm{e}^{-t^2/\tau_{\mathrm t}^2}$（$\tau_{\mathrm t}=w/v$）で立ち上がって消える光を受ける。光が弱いとき、上の準位へ上がる振幅は時間に依存する摂動の1次で $\int\Omega(t)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\Delta t}\,\mathrm{d} t\propto\mathrm{e}^{-\Delta^2\tau_{\mathrm t}^2/4}$ なので、上がる確率は $\mathrm{e}^{-\Delta^2\tau_{\mathrm t}^2/2}$ に比例する。この線の半値全幅は

$$\Gamma_{\mathrm t}=\frac{2\sqrt{2\ln2}}{\tau_{\mathrm t}}=2.35\,\frac{v}{w}\tag{24.18}$$

である。これを通過時間による広がりと呼ぶ。相互作用の時間 $\tau_{\mathrm t}$ の間しか続かない振動の Fourier 変換は、$1/\tau_{\mathrm t}$ より細くならない。自然幅が寿命の逆数になったことと同じ理由である。自然幅の大きい遷移では $\Gamma_{\mathrm t}\ll\Gamma$ で問題にならないが、寿命の長い遷移（原子時計に使う遷移など）では、線の幅は相互作用の時間で決まる。

Rabi の線と Ramsey の縞

寿命が十分長く、$\Gamma$ を無視できる遷移を考える。長さ $\tau_{\mathrm p}$ の一定の強さの光のパルスを当てると、第19章（第19章）の Rabi 振動の式から

$$P_e(\Delta)=\frac{\Omega^2}{\Omega'^2}\sin^2\frac{\Omega'\tau_{\mathrm p}}{2},\qquad \Omega'=\sqrt{\Omega^2+\Delta^2}\tag{24.19}$$

である。共鳴で原子をちょうど反転させる $\pi$ パルス（$\Omega\tau_{\mathrm p}=\pi$）では、この線の半値全幅は数値で解いて $5.02/\tau_{\mathrm p}$（周波数で $0.799/\tau_{\mathrm p}$）になる。

1949年に N. F. Ramsey が考えた方法¹1N. F. Ramsey, “A Molecular Beam Resonance Method with Separated Oscillating Fields,” Phys. Rev. 78, 695 (1950).下の脚注へ閉じる では、相互作用を2つの短い $\pi/2$ パルス（$\Omega\tau_{\mathrm p}=\pi/2$）に分け、その間に光を当てない自由な時間 $t_{\mathrm f}$ を置く。Bloch 球（第19章・解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第5章）の上で読むと、手順は次のとおりである。最初の $\pi/2$ パルスが南極（$| g \rangle$）にある Bloch ベクトルを赤道へ倒す。自由な時間の間、回転座標では Hamiltonian が $-\frac{\hbar\Delta}{2}\sigma_z$ だけになり、Bloch ベクトルは赤道の上を角 $\Delta t_{\mathrm f}$ だけ回る。2つ目の $\pi/2$ パルスは、Bloch ベクトルが回っていなければ北極（$| e \rangle$）まで倒し、$\pi$ だけ回っていれば南極へ戻す。パルスが $\lvert \Delta\rvert \tau_{\mathrm p}\ll1$ を満たすほど短いとき、

$$P_e(\Delta)=\cos^2\frac{\Delta t_{\mathrm f}}{2}\tag{24.20}$$

になる。これを Ramsey の縞と呼ぶ。中央の縞の半値全幅は $\pi/t_{\mathrm f}$（周波数で $1/(2t_{\mathrm f})$）で、パルスの強さや長さによらず自由な時間だけで決まる。

同じ全体の時間 $t_{\mathrm f}$ を1つの $\pi$ パルスに使った Rabi の線（半値全幅 $5.02/t_{\mathrm f}$）に比べ、Ramsey の縞は $5.02/\pi=1.60$ 倍細い。Ramsey の方法の利点は細さだけではない。自由な時間の間は光を当てないので、光による準位のずれ（光シフト）やパワーによる広がりが入らない。縞の幅を決める $t_{\mathrm f}$ は、2つの相互作用の領域の間を原子が飛ぶ時間なので、領域の間隔を広げれば縞は細くなる。縞の包絡線は1つのパルスの Rabi の線（幅 $\sim1/\tau_{\mathrm p}$）で、パルスが短いほど広い範囲に縞が並ぶ（図 24.4）。原子時計への応用は第28章（第28章）で扱う。

断熱急速通過

Doppler 幅のある集団を $\pi$ パルスで反転させようとすると、離調 $u$ の原子にとってはパルスが $\pi$ からずれ、式 (24.19) の分だけしか反転しない。集団全体を反転させるには、離調によらない方法が要る。断熱急速通過では、Rabi 周波数 $\Omega$ を一定に保ったまま、離調を $\Delta(t)=\dot\Delta\,t$ のように負の大きな値から正の大きな値まで掃引する。Hamiltonian $-\frac{\hbar\Delta}{2}\sigma_z-\frac{\hbar\Omega}{2}\sigma_x$ の固有状態は、$\Delta\to-\infty$ では $| g \rangle$（エネルギーの低い方）で、$\Delta\to+\infty$ では $| e \rangle$ になる。掃引がゆっくりなら、原子は断熱定理に従って同じ固有状態に乗ったまま $| g \rangle$ から $| e \rangle$ へ運ばれる。

どれだけゆっくりなら良いかは、線形の掃引に対する厳密な解（Landau と Zener の公式²2L. D. Landau, Phys. Z. Sowjetunion 2, 46 (1932)；C. Zener, “Non-Adiabatic Crossing of Energy Levels,” Proc. R. Soc. Lond. A 137, 696 (1932).下の脚注へ閉じる）が与える。状態 $| g \rangle$, $| e \rangle$ のエネルギーの差は $\hbar\Delta(t)$ で、結合の行列要素は $\hbar\Omega/2$ なので、固有状態から外れて $| g \rangle$ に取り残される確率は

$$P_{\mathrm{na}}=\exp\Bigl(-\frac{\pi\Omega^2}{2\lvert \dot\Delta\rvert }\Bigr)\tag{24.21}$$

で、反転の確率は $1-P_{\mathrm{na}}$ である。$\lvert \dot\Delta\rvert \ll\Omega^2$ なら反転はほぼ完全になる。

この反転の確率は、掃引の範囲の中に共鳴が入ってさえいれば、原子の離調のずれ $u$ にも、$\Omega$ の多少のばらつきにもほとんどよらない。共鳴を通る時刻がずれるだけだからである。したがって Doppler 幅のある集団でも、掃引の範囲より内側の速度の組はまとめて反転する。不均一な広がりのある集団の占有を確実に入れ替える方法として、磁気共鳴の分野で生まれ、光の遷移でも使われる。ただし掃引にかかる時間が上の準位の寿命より短くないと、途中で自然放出が起きて反転が崩れる。そのため断熱急速通過は、寿命の長い遷移か、寿命に比べて十分速く掃引できる強い光で使う。

1　N. F. Ramsey, “A Molecular Beam Resonance Method with Separated Oscillating Fields,” Phys. Rev. 78, 695 (1950).

2　L. D. Landau, Phys. Z. Sowjetunion 2, 46 (1932)；C. Zener, “Non-Adiabatic Crossing of Energy Levels,” Proc. R. Soc. Lond. A 137, 696 (1932).