近似の数理 第7章 §7.5 ★★★ 「速い自由度は遅い変化に追随する」という BO の直観を、ギャップ条件つきの定理にする
主張
ハミルトニアンが遅い時間 s = ε t s=\varepsilon t s = εt H ( s ) H(s) H ( s ) s s s
i ε ∂ s ψ ( s ) = H ( s ) ψ ( s ) , 0 ≤ s ≤ 1 (7.10) \mathrm{i}\varepsilon \,\partial_s\psi(s) = H(s)\psi(s),\qquad 0\le s\le1\tag{7.10} i ε ∂ s ψ ( s ) = H ( s ) ψ ( s ) , 0 ≤ s ≤ 1 ( 7.10 )
となり、時間微分という「最高階」の項に小さい係数 ε \varepsilon ε ε = 0 \varepsilon =0 ε = 0 H ( s ) ψ = 0 H(s)\psi=0 H ( s ) ψ = 0
定理 7.5（断熱定理 ★★★）
H ( s ) H(s) H ( s ) s s s E n ( s ) E_n(s) E n ( s )
g = min 0 ≤ s ≤ 1 min m ≠ n ∣ E m ( s ) − E n ( s ) ∣ > 0 g = \min_{0\le s\le1}\min_{m\ne n}\lvert E_m(s)-E_n(s)\rvert > 0 g = 0 ≤ s ≤ 1 min m = n min ∣ E m ( s ) − E n ( s )∣ > 0
だけ離れている（ギャップ条件 ）とする。対応する規格化固有ベクトル φ n ( s ) \varphi_n(s) φ n ( s ) (7.10) の解 ψ ( s ) \psi(s) ψ ( s )
min γ ∈ R ∥ ψ ( s ) − e i γ φ n ( s ) ∥ ≤ C ε ( 0 ≤ s ≤ 1 ) \min_{\gamma\in\mathbb{R}}\lVert \psi(s)-\mathrm{e}^{\mathrm{i}\gamma}\varphi_n(s)\rVert \le C\varepsilon \qquad(0\le s\le1) γ ∈ R min ∥ ψ ( s ) − e i γ φ n ( s )∥ ≤ C ε ( 0 ≤ s ≤ 1 )
を満たす。C C C ∥ H ′ ∥ / g 2 \lVert H'\rVert /g^2 ∥ H ′ ∥ / g 2 ∥ H ′ ′ ∥ / g 2 \lVert H''\rVert /g^2 ∥ H ′′ ∥ / g 2 ∥ H ′ ∥ 2 / g 3 \lVert H'\rVert ^2/g^3 ∥ H ′ ∥ 2 / g 3
断熱定理は Born と Fock（1928）が原型を述べ、加藤敏夫（1950）がスペクトル射影を用いて無限次元の場合も含む形に整えた。加藤の議論は離散固有値を他のスペクトルから分けるギャップさえあれば、ヒルベルト空間（内積を持つ完備なベクトル空間。第3章参照）上の自己共役作用素についてそのまま成り立つ。
証明の骨格（有限次元・非縮退） 固有ベクトルの位相を ⟨ φ k ( s ) ∣ φ k ′ ( s ) ⟩ = 0 \langle \varphi_k(s) | \varphi_k'(s) \rangle =0 ⟨ φ k ( s ) ∣ φ k ′ ( s )⟩ = 0 θ k ( s ) = ∫ 0 s E k \theta_k(s)=\int_0^sE_k θ k ( s ) = ∫ 0 s E k ψ = ∑ k c k ( s ) e − i θ k ( s ) / ε φ k ( s ) \psi = \sum_kc_k(s)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta_k(s)/\varepsilon }\varphi_k(s) ψ = ∑ k c k ( s ) e − i θ k ( s ) / ε φ k ( s ) (7.10) に代入してφ k \varphi_k φ k
c k ′ = − ∑ m ≠ k c m M k m e i ( θ k − θ m ) / ε , M k m = ⟨ φ k ∣ φ m ′ ⟩ = ⟨ φ k ∣ H ′ ∣ φ m ⟩ E m − E k c_k' = -\sum_{m\ne k}c_m\,M_{km}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta_k-\theta_m)/\varepsilon },\qquad
M_{km} = \langle \varphi_k | \varphi_m' \rangle = \frac{\langle \varphi_k | H' | \varphi_m \rangle }{E_m-E_k} c k ′ = − m = k ∑ c m M k m e i ( θ k − θ m ) / ε , M k m = ⟨ φ k ∣ φ m ′ ⟩ = E m − E k ⟨ φ k ∣ H ′ ∣ φ m ⟩
を得る。最後の等式は H φ m = E m φ m H\varphi_m=E_m\varphi_m H φ m = E m φ m s s s φ k \varphi_k φ k c n ( 0 ) = 1 c_n(0)=1 c n ( 0 ) = 1
要点は、右辺の位相因子 e i ( θ k − θ m ) / ε \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta_k-\theta_m)/\varepsilon } e i ( θ k − θ m ) / ε s s s ∼ ε / g \sim\varepsilon /g ∼ ε / g
e i ( θ k − θ m ) / ε = ε i ( E k − E m ) d d s e i ( θ k − θ m ) / ε \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta_k-\theta_m)/\varepsilon } = \frac{\varepsilon }{\mathrm{i}(E_k-E_m)}\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta_k-\theta_m)/\varepsilon } e i ( θ k − θ m ) / ε = i ( E k − E m ) ε d s d e i ( θ k − θ m ) / ε
と書き直して c k ( s ) = − ∫ 0 s ∑ m c m M k m e i ( θ k − θ m ) / ε c_k(s)=-\int_0^s\sum_m c_mM_{km}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta_k-\theta_m)/\varepsilon } c k ( s ) = − ∫ 0 s ∑ m c m M k m e i ( θ k − θ m ) / ε ε ∣ c m M k m ∣ / g ≤ ε ∥ H ′ ∥ / g 2 \varepsilon \lvert c_mM_{km}\rvert /g\le\varepsilon \lVert H'\rVert /g^2 ε ∣ c m M k m ∣ / g ≤ ε ∥ H ′ ∥ / g 2 ε ∫ ∣ ( c m M k m / ( E k − E m ) ) ′ ∣ \varepsilon \int\lvert (c_mM_{km}/(E_k-E_m))'\rvert ε ∫ ∣( c m M k m / ( E k − E m ) ) ′ ∣ c m ′ c_m' c m ′ c m ′ c_m' c m ′ ∣ c ∣ \lvert c\rvert ∣ c ∣ M M M k ≠ n k\ne n k = n ∣ c k ( s ) ∣ = O ( ε ) \lvert c_k(s)\rvert =\mathcal{O}(\varepsilon ) ∣ c k ( s )∣ = O ( ε ) c n c_n c n ∣ c n ∣ = 1 − O ( ε 2 ) \lvert c_n\rvert =1-\mathcal{O}(\varepsilon ^2) ∣ c n ∣ = 1 − O ( ε 2 )
物理の直観「ゆっくり変えれば固有状態にとどまる」は、この証明では速い位相の振動による打ち消し として現れる。遷移の振幅は、変化の速さ ε ∥ H ′ ∥ \varepsilon \lVert H'\rVert ε ∥ H ′ ∥ g g g g g g ε ∥ H ′ ∥ ≪ g 2 \varepsilon \lVert H'\rVert \ll g^2 ε ∥ H ′ ∥ ≪ g 2 2乗 との比較で測られることである。1 / g 2 1/g^2 1/ g 2 M k m M_{km} M k m
ギャップが小さいとき：Landau–Zener 遷移
ギャップ条件が破れかけた状況の典型が Landau–Zener 模型である。
H ( t ) = ( α t / 2 Δ / 2 Δ / 2 − α t / 2 ) H(t) = \begin{pmatrix}\alpha t/2 & \Delta/2\\ \Delta/2 & -\alpha t/2\end{pmatrix} H ( t ) = ( α t /2 Δ/2 Δ/2 − α t /2 )
は、傾き ± α / 2 \pm\alpha/2 ± α /2 Δ / 2 \Delta/2 Δ/2 t = 0 t=0 t = 0 Δ \Delta Δ t = − ∞ t=-\infty t = − ∞ t = + ∞ t=+\infty t = + ∞
P L Z = exp ( − π Δ 2 2 ℏ α ) P_{\mathrm{LZ}} = \exp\Bigl(-\frac{\pi\Delta^2}{2\hbar\alpha}\Bigr) P LZ = exp ( − 2ℏ α π Δ 2 )
で与えられる（Landau と Zener が1932年に独立に導いた）。Schrödinger 方程式の数値積分と比べると、( α , Δ ) = ( 1 , 0.5 ) , ( 1 , 1 ) , ( 2 , 0.6 ) (\alpha,\Delta)=(1,0.5),(1,1),(2,0.6) ( α , Δ ) = ( 1 , 0.5 ) , ( 1 , 1 ) , ( 2 , 0.6 ) ℏ = 1 \hbar=1 ℏ = 1 0.669 , 0.206 , 0.751 0.669,\ 0.206,\ 0.751 0.669 , 0.206 , 0.751 0.675 , 0.208 , 0.754 0.675,\ 0.208,\ 0.754 0.675 , 0.208 , 0.754
この式を断熱定理と比べると二つのことが分かる。一つは、断熱性の条件が ℏ α ≪ Δ 2 \hbar\alpha\ll\Delta^2 ℏ α ≪ Δ 2 ∥ H ˙ ∥ ∼ α \lVert \dot H\rVert \sim\alpha ∥ H ˙ ∥ ∼ α ε ∥ H ′ ∥ / g 2 \varepsilon \lVert H'\rVert /g^2 ε ∥ H ′ ∥ / g 2 ε \varepsilon ε ℏ α / Δ 2 \hbar\alpha/\Delta^2 ℏ α / Δ 2 exp ( − c / ε ) \exp(-c/\varepsilon ) exp ( − c / ε ) O ( ε ) \mathcal{O}(\varepsilon ) O ( ε ) ε \varepsilon ε e − 2 π z \mathrm{e}^{-2\pi z} e − 2 π z Δ → 0 \Delta\to0 Δ → 0 P L Z → 1 P_{\mathrm{LZ}}\to1 P LZ → 1
例題 7.5 回転する磁場の中のスピン ★★
オリジナル ℏ = 1 \hbar=1 ℏ = 1 1 / 2 1/2 1/2
H ( t ) = ω 2 ( cos Ω t σ z + sin Ω t σ x ) , 0 ≤ t ≤ T , Ω = π T H(t) = \frac\omega2\bigl(\cos\Omega t\,\sigma_z + \sin\Omega t\,\sigma_x\bigr),\qquad 0\le t\le T,\quad \Omega=\frac\pi T H ( t ) = 2 ω ( cos Ω t σ z + sin Ω t σ x ) , 0 ≤ t ≤ T , Ω = T π
を考える。磁場の向きは時間 T T T + z +z + z − z -z − z ∣ ↓ ⟩ | \downarrow \rangle ∣ ↓ ⟩
(1) 瞬間の固有値とギャップ g g g s = t / T s=t/T s = t / T (7.10) の形に書き、ε \varepsilon ε ∥ H ′ ( s ) ∥ \lVert H'(s)\rVert ∥ H ′ ( s )∥ (2) R ( t ) = e − i Ω t σ y / 2 R(t)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\Omega t\sigma_y/2} R ( t ) = e − i Ω t σ y /2 ψ = R ( t ) χ \psi=R(t)\chi ψ = R ( t ) χ χ \chi χ K = ω 2 σ z − Ω 2 σ y K=\frac\omega2\sigma_z-\frac\Omega2\sigma_y K = 2 ω σ z − 2 Ω σ y P ( t ) P(t) P ( t ) (3) ω = 1 \omega=1 ω = 1 T = 10 π T=10\pi T = 10 π P P P min γ ∥ ψ − e i γ φ 0 ∥ \min_\gamma\lVert \psi-\mathrm{e}^{\mathrm{i}\gamma}\varphi_0\rVert min γ ∥ ψ − e i γ φ 0 ∥ ε ∥ H ′ ∥ / g 2 \varepsilon \lVert H'\rVert /g^2 ε ∥ H ′ ∥ / g 2
解答 (1) ( cos Ω t σ z + sin Ω t σ x ) 2 = 1 (\cos\Omega t\,\sigma_z+\sin\Omega t\,\sigma_x)^2 = 1 ( cos Ω t σ z + sin Ω t σ x ) 2 = 1 ± ω / 2 \pm\omega/2 ± ω /2 g = ω g=\omega g = ω s = t / T s=t/T s = t / T d / d t = T − 1 d / d s \mathrm{d}/\mathrm{d} t = T^{-1}\mathrm{d}/\mathrm{d} s d / d t = T − 1 d / d s i T − 1 ∂ s ψ = H ( s ) ψ \mathrm{i} T^{-1}\partial_s\psi = H(s)\psi i T − 1 ∂ s ψ = H ( s ) ψ H ( s ) = ω 2 ( cos π s σ z + sin π s σ x ) H(s) = \frac\omega2(\cos\pi s\,\sigma_z+\sin\pi s\,\sigma_x) H ( s ) = 2 ω ( cos π s σ z + sin π s σ x ) ε = 1 / T \varepsilon =1/T ε = 1/ T H ′ ( s ) = π ω 2 ( − sin π s σ z + cos π s σ x ) H'(s) = \frac{\pi\omega}2(-\sin\pi s\,\sigma_z+\cos\pi s\,\sigma_x) H ′ ( s ) = 2 π ω ( − sin π s σ z + cos π s σ x ) ∥ H ′ ( s ) ∥ = π ω / 2 \lVert H'(s)\rVert =\pi\omega/2 ∥ H ′ ( s )∥ = π ω /2
(2) R ( t ) R(t) R ( t ) y y y Ω t \Omega t Ω t R σ z R † = cos Ω t σ z + sin Ω t σ x R\sigma_zR^\dagger = \cos\Omega t\,\sigma_z+\sin\Omega t\,\sigma_x R σ z R † = cos Ω t σ z + sin Ω t σ x H ( t ) = R ω 2 σ z R † H(t) = R\,\frac\omega2\sigma_z\,R^\dagger H ( t ) = R 2 ω σ z R † R ′ = − i Ω 2 σ y R R' = -\frac{\mathrm{i}\Omega}2\sigma_yR R ′ = − 2 i Ω σ y R i ψ ′ = H ψ \mathrm{i}\psi'=H\psi i ψ ′ = H ψ ψ = R χ \psi=R\chi ψ = R χ
i ( − i Ω 2 σ y R χ + R χ ′ ) = R ω 2 σ z χ ⟹ i χ ′ = ( ω 2 σ z − Ω 2 σ y ) χ = K χ \mathrm{i}\Bigl(-\frac{\mathrm{i}\Omega}{2}\sigma_yR\chi + R\chi'\Bigr) = R\,\frac\omega2\sigma_z\chi
\quad\Longrightarrow\quad
\mathrm{i}\chi' = \Bigl(\frac\omega2\sigma_z - \frac\Omega2\sigma_y\Bigr)\chi = K\chi i ( − 2 i Ω σ y R χ + R χ ′ ) = R 2 ω σ z χ ⟹ i χ ′ = ( 2 ω σ z − 2 Ω σ y ) χ = K χ
となる（σ y \sigma_y σ y R R R R ( t ) ∣ ↑ ⟩ R(t)| \uparrow \rangle R ( t ) ∣ ↑ ⟩ P ( t ) = ∣ ⟨ ↑ ∣ χ ( t ) ⟩ ∣ 2 P(t)=\lvert \langle \uparrow | \chi(t) \rangle \rvert ^2 P ( t ) = ∣⟨ ↑ ∣ χ ( t )⟩ ∣ 2 W = ω 2 + Ω 2 W=\sqrt{\omega^2+\Omega^2} W = ω 2 + Ω 2 n = ( 0 , − Ω / W , ω / W ) \bm{n} = (0,-\Omega/W,\omega/W) n = ( 0 , − Ω/ W , ω / W ) K = W 2 n ⋅ σ K=\frac W2\,\bm{n}\cdot\bm{\sigma} K = 2 W n ⋅ σ e − i K t = cos W t 2 − i sin W t 2 n ⋅ σ \mathrm{e}^{-\mathrm{i} Kt} = \cos\frac{Wt}2 - \mathrm{i}\sin\frac{Wt}2\,\bm{n}\cdot\bm{\sigma} e − i K t = cos 2 W t − i sin 2 W t n ⋅ σ ⟨ ↑ ∣ n ⋅ σ ∣ ↓ ⟩ = n x − i n y = i Ω / W \langle \uparrow | \bm{n}\cdot\bm{\sigma} | \downarrow \rangle = n_x-\mathrm{i} n_y = \mathrm{i}\Omega/W ⟨ ↑ ∣ n ⋅ σ ∣ ↓ ⟩ = n x − i n y = i Ω/ W
P ( t ) = Ω 2 ω 2 + Ω 2 sin 2 W t 2 . P(t) = \frac{\Omega^2}{\omega^2+\Omega^2}\,\sin^2\frac{Wt}{2}. P ( t ) = ω 2 + Ω 2 Ω 2 sin 2 2 W t .
(3) Ω = π / T = 0.1 \Omega = \pi/T = 0.1 Ω = π / T = 0.1 P max = 0.01 / 1.01 = 9.9 × 10 − 3 P_{\max} = 0.01/1.01 = 9.9\times10^{-3} P m a x = 0.01/1.01 = 9.9 × 1 0 − 3 min γ ∥ ψ − e i γ φ 0 ∥ = 2 − 2 1 − P ≈ P \min_\gamma\lVert \psi-\mathrm{e}^{\mathrm{i}\gamma}\varphi_0\rVert = \sqrt{2-2\sqrt{1-P}}\approx\sqrt P min γ ∥ ψ − e i γ φ 0 ∥ = 2 − 2 1 − P ≈ P Ω / W ≈ 0.0995 \Omega/W\approx0.0995 Ω/ W ≈ 0.0995 ε ∥ H ′ ∥ / g 2 = 1 T ⋅ π ω 2 ⋅ 1 ω 2 = Ω 2 ω = 0.05 \varepsilon \lVert H'\rVert /g^2 = \frac1T\cdot\frac{\pi\omega}{2}\cdot\frac1{\omega^2} = \frac{\Omega}{2\omega} = 0.05 ε ∥ H ′ ∥ / g 2 = T 1 ⋅ 2 π ω ⋅ ω 2 1 = 2 ω Ω = 0.05 1 / T 1/T 1/ T T T T O ( ε ) \mathcal{O}(\varepsilon ) O ( ε ) Ω \Omega Ω ω \omega ω
ずれは時間とともに減らず、周期 2 π / W 2\pi/W 2 π / W t = T t=T t = T P = 6.1 × 10 − 5 P=6.1\times10^{-5} P = 6.1 × 1 0 − 5 T T T P max P_{\max} P m a x H ′ ( s ) H'(s) H ′ ( s ) s = 0 , 1 s=0,1 s = 0 , 1 ε \varepsilon ε
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
