WKB 近似

近似の数理　第7章 §7.4　★★★ 半古典近似は「最高階の係数 $\hbar^2$ が小さい」特異摂動であり、BO の核の運動の扱いの土台

特異摂動としての WKB

1次元 Schrödinger 方程式 $-\frac{\hbar^2}{2m}\psi''+V\psi=E\psi$ を

$$\varepsilon \,y'' = Q(x)\,y,\qquad \varepsilon =\hbar^2,\quad Q(x) = 2m\bigl(V(x)-E\bigr)\tag{7.6}$$

と書く。最高階の微分に小さい係数 $\varepsilon$ が掛かっており、$\varepsilon =0$ では $Qy=0$、すなわち $y=0$ という無意味な方程式になる。モデル問題よりも極端な特異摂動であり、解は全域で $\varepsilon$ に依存した速い変化（波長 $\hbar/p$ の振動、または減衰）をする。したがって冪展開ではなく、指数の肩を展開する。

$$y = \exp\Bigl(\frac{1}{\sqrt\varepsilon }\bigl(S_0(x)+\sqrt\varepsilon \,S_1(x)+\varepsilon S_2(x)+\cdots\bigr)\Bigr).$$

代入して $\varepsilon ^0$、$\varepsilon ^{1/2}$ の項をそろえると

$$(S_0')^2 = Q\quad(\text{アイコナール方程式}),\qquad 2S_0'S_1' + S_0'' = 0\quad(\text{輸送方程式})$$

が得られる。第1式から $S_0 = \pm\int^x\sqrt{Q}\,\mathrm{d} x'$、第2式から $S_1' = -Q'/(4Q)$ すなわち $S_1 = -\tfrac14\ln Q$（検算スクリプト）。よって

$$y \sim Q(x)^{-1/4}\exp\Bigl(\pm\frac1{\sqrt\varepsilon }\int^x\sqrt{Q(x')}\,\mathrm{d} x'\Bigr).\tag{7.7}$$

古典的に許された領域（$E>V$、$Q<0$）では $p(x)=\sqrt{2m(E-V)}$ を局所運動量として $Q=-p^2$、$\sqrt Q=\mathrm{i} p$ であり、$\psi\sim p^{-1/2}\exp(\pm\mathrm{i}\int p\,\mathrm{d} x/\hbar)$ となる。振幅 $p^{-1/2}$ は「粒子が速く通る場所ほど見つかりにくい」という古典的な滞在時間の比 $\lvert \psi\rvert ^2\propto1/p$ に対応し、輸送方程式は確率の流れの保存 $\lvert \psi\rvert ^2p=\text{一定}$ を表す。

展開が意味を持つ条件は、次の項 $\varepsilon S_2$ が小さいことである。計算すると$\sqrt\varepsilon \,\lvert Q'\rvert /\lvert Q\rvert ^{3/2}\ll1$、物理の言葉では「局所的な de Broglie 波長 $\lambda=2\pi\hbar/p$ の間にポテンシャルがほとんど変わらない」（$\lvert \mathrm{d}\lambda/\mathrm{d} x\rvert \ll1$）という条件になる。

転回点と Airy 関数による接続

$Q(x)=0$、すなわち $V=E$ となる転回点では (7.7) の振幅 $Q^{-1/4}$ が発散し、WKB は破綻する。これは境界層の状況と同じで、転回点のまわりの薄い層では「速い変化」の仮定が成り立たない。層の中では別の伸長変数で内部問題を解き、外側の WKB 解（外部解に当たる）と接合する。

転回点 $x=a$ で $V'(a)>0$（右側が禁止領域）とし、$Q\approx Q_1(x-a)$、$Q_1=2mV'(a)>0$ と線形化する。伸長変数を

$$z = \Bigl(\frac{Q_1}{\varepsilon }\Bigr)^{1/3}(x-a)$$

とおくと (7.6) は $\mathrm{d}^2y/\mathrm{d} z^2 = z\,y$（Airy 方程式）になる。層の幅は $\varepsilon ^{1/3}=\hbar^{2/3}$ であり、モデル問題の幅 $\varepsilon$ とは指数が違うが、主要釣り合いから層の幅が決まる論理は同じである。禁止領域 $z\to+\infty$ で減衰する解はAiry 関数 $\mathrm{Ai}(z)$ で、その両側の漸近形は

$$\mathrm{Ai}(z)\sim\frac{\mathrm{e}^{-\frac23z^{3/2}}}{2\sqrt\pi\,z^{1/4}}\ (z\to+\infty),\qquad \mathrm{Ai}(z)\sim\frac{\cos\bigl(\frac23\lvert z\rvert ^{3/2}-\frac\pi4\bigr)}{\sqrt\pi\,\lvert z\rvert ^{1/4}}\ (z\to-\infty)$$

である（$z=\pm6,\pm10$ で数値と照合、検算スクリプト）。

接合は、内部変数で $\lvert z\rvert \gg1$（Airy の漸近形が使える）かつ外部変数で $\lvert x-a\rvert \ll1$（線形化が使える）という重なり領域 $\hbar^{2/3}\ll\lvert x-a\rvert \ll1$ で行う。そこでは $\int_x^ap\,\mathrm{d} x'/\hbar = \frac23\lvert z\rvert ^{3/2}$、$p^{-1/2}\propto\lvert z\rvert ^{-1/4}$が成り立つ（線形化した $p=\sqrt{Q_1(a-x)}$ で直接積分すれば確かめられる）。したがって Airy の両側の漸近形は、外部の WKB 解の言葉で

$$\frac{2}{\sqrt{p}}\cos\Bigl(\frac1\hbar\int_x^a p\,\mathrm{d} x' - \frac\pi4\Bigr)\quad\longleftrightarrow\quad \frac{1}{\sqrt{\lvert p\rvert }}\exp\Bigl(-\frac1\hbar\int_a^x\lvert p\rvert \,\mathrm{d} x'\Bigr)\tag{7.8}$$

という対応（接続公式）になる。左右の係数 $2$ と $1$ は Airy の漸近形の係数 $1/\sqrt\pi$ と $1/(2\sqrt\pi)$ の比から来ており、位相 $-\pi/4$ は転回点で波が「4分の1波長分だけ遅れて」反射されることを表す。

Bohr–Sommerfeld の量子化条件

2つの転回点 $a<b$ の間の井戸を考える。左の転回点 $a$ から接続すると許容領域の解は$\cos\bigl(\int_a^xp/\hbar - \pi/4\bigr)$ に、右の転回点 $b$ から接続すると $\cos\bigl(\int_x^bp/\hbar - \pi/4\bigr)$ に比例する。$\Phi = \int_a^bp\,\mathrm{d} x/\hbar$ とおくと後者は $\cos\bigl(\Phi-\pi/2-(\int_a^xp/\hbar-\pi/4)\bigr)$ と書け、二つが同じ関数（の定数倍）であるためには $\Phi-\pi/2 = n\pi$ でなければならない。よって

$$\oint p\,\mathrm{d} x = 2\int_a^bp\,\mathrm{d} x = 2\pi\hbar\Bigl(n+\frac12\Bigr),\qquad n=0,1,2,\dots\tag{7.9}$$

を得る。古い量子論の量子化条件に $1/2$ が付いた形であり、この $1/2$ は二つの転回点での $\pi/4$ の位相の和から来ている。