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多重尺度法と平均化

2026年10月9日12分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第7章 スケール分離と特異摂動：Born–Oppenheimer から境界層まで
目次
  1. 永年項による破綻
  2. 二つの時間尺度
  3. 振動数のずれ：Poincaré–Lindstedt
  4. 平均化
  5. 木下の層

AI 生成・木下が未勉強

近似の数理　第7章 §7.3　★★ 時間方向の特異摂動。断熱定理・BO の「遅い変数」の数学的原型

前節の非一様性は空間の薄い層に現れた。時間発展の問題では、同じ非一様性が「長い時間」に現れる。

永年項による破綻

弱く減衰する振動子

x′′+εx′+x=0,x(0)=1,x′(0)=0(7.4)x'' + \varepsilon x' + x = 0,\qquad x(0)=1,\quad x'(0)=0\tag{7.4}

に素朴に x=x0+εx1+⋯x = x_0+\varepsilon x_1+\cdots を代入する。ε0\varepsilon ^0 で x0′′+x0=0x_0''+x_0=0、x0=cos⁡tx_0=\cos t。ε1\varepsilon ^1 で

x1′′+x1=−x0′=sin⁡t,x1(0)=x1′(0)=0x_1''+x_1 = -x_0' = \sin t,\qquad x_1(0)=x_1'(0)=0

となり、右辺が自由振動の振動数 1 と共鳴しているので解は

x1=−t2cos⁡t+12sin⁡tx_1 = -\frac t2\cos t + \frac12\sin t

となる（検算スクリプト）。tcos⁡tt\cos t のように時間とともに際限なく増える項を永年項（secular term）という。展開 x≈cos⁡t−(εt/2)cos⁡tx\approx\cos t - (\varepsilon t/2)\cos t は t=O(1)t=\mathcal{O}(1) では正しいが、t∼1/εt\sim1/\varepsilon で第2項が第1項と同じ大きさになり、近似の意味を失う。厳密解 x=e−εt/2(cos⁡ωt+ε2ωsin⁡ωt)x = \mathrm{e}^{-\varepsilon t/2}\bigl(\cos\omega t+\tfrac{\varepsilon }{2\omega}\sin\omega t\bigr)（ω=1−ε2/4\omega=\sqrt{1-\varepsilon ^2/4}）と比べると、素朴展開の項 1−εt/21-\varepsilon t/2 は e−εt/2\mathrm{e}^{-\varepsilon t/2} の Taylor 展開の最初の2項にすぎない。展開は各 tt では正しいが、tt について一様ではない。これは前節の e−x/ε\mathrm{e}^{-x/\varepsilon } と同じ型の非一様性であり、「減衰」という遅い過程を「振動」という速い過程の中で冪展開しようとしたことが原因である。

二つの時間尺度

多重尺度法（method of multiple scales）は、遅い時間 T=εtT=\varepsilon t を独立な変数として扱う。x=x0(t,T)+εx1(t,T)+⋯x = x_0(t,T)+\varepsilon x_1(t,T)+\cdots とおき、d/dt=∂t+ε∂T\mathrm{d}/\mathrm{d} t = \partial_t + \varepsilon \partial_T を使うと

ε0: ∂t2x0+x0=0,ε1: ∂t2x1+x1=−2∂t∂Tx0−∂tx0.\varepsilon ^0:\ \partial_t^2x_0 + x_0 = 0,\qquad \varepsilon ^1:\ \partial_t^2x_1 + x_1 = -2\partial_t\partial_Tx_0 - \partial_tx_0 .

第1式の一般解は x0=A(T)eit+A(T)‾e−itx_0 = A(T)\mathrm{e}^{\mathrm{i} t}+\overline{A(T)}\mathrm{e}^{-\mathrm{i} t} で、振幅 AA が遅い時間の関数として残る。第2式の右辺は

−2∂t∂Tx0−∂tx0=−(2iA′+iA)eit+c.c.-2\partial_t\partial_Tx_0 - \partial_tx_0 = -\bigl(2\mathrm{i} A' + \mathrm{i} A\bigr)\mathrm{e}^{\mathrm{i} t} + \text{c.c.}

であり、e±it\mathrm{e}^{\pm\mathrm{i} t} の成分は共鳴して永年項を生む。永年項が出ないためには、その係数が 0 でなければならない。

2iA′+iA=0⟹A(T)=A(0) e−T/2.(7.5)2\mathrm{i} A' + \mathrm{i} A = 0\quad\Longrightarrow\quad A(T) = A(0)\,\mathrm{e}^{-T/2}.\tag{7.5}

これが振幅方程式であり、初期条件から A(0)=1/2A(0)=1/2、したがって x0=e−εt/2cos⁡tx_0 = \mathrm{e}^{-\varepsilon t/2}\cos t となる。

この操作の数学的な中身はFredholm の択一定理（可解条件）である。Lu=∂t2u+uLu = \partial_t^2u+u を周期 2π2\pi の関数の空間で考えると、LL は核 span⁡{eit,e−it}\operatorname{span}\{\mathrm{e}^{\mathrm{i} t},\mathrm{e}^{-\mathrm{i} t}\} を持つ。Lu=fLu=f が周期解を持つための必要十分条件は ff が核と直交すること、すなわち ff が e±it\mathrm{e}^{\pm\mathrm{i} t} の成分を含まないことである。永年項を消す条件はこの可解条件そのものであり、「核への射影が 0」という条件が遅い変数 A(T)A(T) の発展方程式を与える。

数値で比べると、t∈[0,10/ε]t\in[0,10/\varepsilon ] での sup⁡∣x−e−εt/2cos⁡t∣\sup\lvert x-\mathrm{e}^{-\varepsilon t/2}\cos t\rvert は ε=0.1,0.01\varepsilon =0.1,0.01 でそれぞれ 0.0480.048、0.00500.0050 であり誤差は ≈ε/2\approx\varepsilon /2 にとどまる。素朴展開の誤差は同じ区間で 4 程度に達する（検算スクリプト）。

図

図 7.2　弱減衰振動子 (7.4)（ε=0.1\varepsilon =0.1）。素朴展開は t∼1/ε=10t\sim1/\varepsilon =10 を過ぎると永年項 −(εt/2)cos⁡t-(\varepsilon t/2)\cos t のために厳密解から大きく外れる。多重尺度法の振幅方程式が与える包絡線 e−εt/2\mathrm{e}^{-\varepsilon t/2} は全区間で厳密解の振幅をなぞる。

振動数のずれ：Poincaré–Lindstedt

非線形の振動では、遅い時間で変わるのは振幅だけでなく位相（すなわち振動数）である。Duffing 振動子x′′+x+εx3=0x''+x+\varepsilon x^3=0 では、振幅に依存して振動数がずれる。周期解を求めるだけなら、時間を τ=ωt\tau=\omega t と伸縮してω\omega 自体を展開する Poincaré–Lindstedt 法が簡単である（例題で扱う）。

例題 7.3　Duffing 振動子の振動数のずれ ★★

オリジナル[標準的な題材を自作] x′′+x+εx3=0x''+x+\varepsilon x^3 = 0、x(0)=ax(0)=a、x′(0)=0x'(0)=0 を考える。

  • (1) 素朴な展開 x=x0+εx1x=x_0+\varepsilon x_1 で x1x_1 の方程式を書き、永年項が現れることを示せ。
  • (2) τ=ωt\tau=\omega t、ω=1+εω1+⋯\omega = 1+\varepsilon \omega_1+\cdots、x=x0(τ)+εx1(τ)+⋯x = x_0(\tau)+\varepsilon x_1(\tau)+\cdots とおいて、永年項が消える条件から ω1\omega_1 を決めよ。
  • (3) 結果を物理的に解釈せよ（硬いばねか軟らかいばねか）。
解答

(1) x0=acos⁡tx_0=a\cos t、x1′′+x1=−a3cos⁡3t=−a3(34cos⁡t+14cos⁡3t)x_1''+x_1 = -a^3\cos^3t = -a^3\bigl(\tfrac34\cos t+\tfrac14\cos3t\bigr)（恒等式 cos⁡3t=34cos⁡t+14cos⁡3t\cos^3t=\tfrac34\cos t+\tfrac14\cos3t）。右辺の cos⁡t\cos t が共鳴して x1∋−38a3tsin⁡tx_1\ni-\tfrac38a^3t\sin t という永年項を生む。

(2) d/dt=ω d/dτ\mathrm{d}/\mathrm{d} t=\omega\,\mathrm{d}/\mathrm{d}\tau なので方程式は ω2x¨+x+εx3=0\omega^2\ddot x + x + \varepsilon x^3 = 0（ドットは τ\tau 微分）。ε0\varepsilon ^0：x¨0+x0=0\ddot x_0+x_0=0、x0=acos⁡τx_0=a\cos\tau。ε1\varepsilon ^1：

x¨1+x1=−2ω1x¨0−x03=(2ω1a−34a3)cos⁡τ−14a3cos⁡3τ.\ddot x_1 + x_1 = -2\omega_1\ddot x_0 - x_0^3 = \Bigl(2\omega_1a - \tfrac34a^3\Bigr)\cos\tau - \tfrac14a^3\cos3\tau .

cos⁡τ\cos\tau の係数が 0 であることが永年項の出ない条件なので ω1=38a2\omega_1 = \tfrac38a^2、すなわち

ω=1+38εa2+O(ε2).\omega = 1 + \frac38\varepsilon a^2 + \mathcal{O}(\varepsilon ^2).

数値積分で周期を測ると、ε=0.05\varepsilon =0.05、a=1a=1 で ω=1.01855\omega=1.01855、公式は 1.018751.01875 で、差は O(ε2)\mathcal{O}(\varepsilon ^2) の大きさ（≈−0.08ε2\approx-0.08\varepsilon ^2）である（検算スクリプト）。

(3) ε>0\varepsilon >0 は復元力 x+εx3x+\varepsilon x^3 が変位とともに線形より強くなる硬いばねであり、振幅が大きいほど速く振動する。ε<0\varepsilon <0 なら軟らかいばねで振動数は下がる。振動数が振幅に依存することは非線形振動の基本的な性質で、素朴展開ではこの位相のずれが tsin⁡tt\sin t という永年項に化けて現れていた。

平均化

多重尺度法の結果は、より一般的な平均化原理にまとめられる。振動子 x′′+x=εh(x,x′)x''+x = \varepsilon h(x,x') をx=rcos⁡θx=r\cos\theta、x′=−rsin⁡θx'=-r\sin\theta、θ=t+φ\theta=t+\varphi と極形式で書くと

r′=−ε hsin⁡θ,rφ′=−ε hcos⁡θr' = -\varepsilon \,h\sin\theta,\qquad r\varphi' = -\varepsilon \,h\cos\theta

となり、(r,φ)(r,\varphi) は O(ε)\mathcal{O}(\varepsilon ) の速さでしか変わらない遅い変数、θ\theta は速い変数になる。遅い変数の方程式の右辺を速い変数について1周期平均したものに置き換えるのが平均化である。減衰振動子（h=−x′=−rsin⁡θh=-x'=-r\sin\theta）ではsin⁡2θ‾=1/2\overline{\sin^2\theta}=1/2 から r′=−εr/2r'=-\varepsilon r/2 となり振幅方程式 (7.5) が再現される。Duffing（h=−x3h=-x^3）ではrφ′=εr3cos⁡4θ‾=38εr3r\varphi' = \varepsilon r^3\overline{\cos^4\theta} = \tfrac38\varepsilon r^3 となり、例題の振動数のずれが再現される。

定理 7.4（平均化定理（一次） ★★）

x∈Rn\bm{x}\in\mathbb{R}^n について x˙=εf(x,t)\dot{\bm{x}} = \varepsilon \bm{f}(\bm{x},t) を考え、f\bm{f} は tt について周期 2π2\pi、x\bm{x} について有界な2階までの導関数を持つとする。平均 fˉ(y)=12π∫02πf(y,t) dt\bar{\bm{f}}(\bm{y}) = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\bm{f}(\bm{y},t)\,\mathrm{d} t による平均化方程式 y˙=εfˉ(y)\dot{\bm{y}}=\varepsilon \bar{\bm{f}}(\bm{y}) の解で y(0)=x(0)\bm{y}(0)=\bm{x}(0) のものが、時間 L/εL/\varepsilon まで考えている有界領域にとどまるなら、

∣x(t)−y(t)∣≤Cε(0≤t≤L/ε)\lvert \bm{x}(t)-\bm{y}(t)\rvert \le C\varepsilon \qquad(0\le t\le L/\varepsilon )

が成り立つ。CC は LL と f\bm{f} の上界にのみよる。

証明

近恒等変換で振動部分を取り除く。w(y,t)=∫0t(f(y,s)−fˉ(y))ds\bm{w}(\bm{y},t) = \int_0^t\bigl(\bm{f}(\bm{y},s)-\bar{\bm{f}}(\bm{y})\bigr)\mathrm{d} s とおくと、被積分関数の1周期平均が 0 なので w\bm{w} は tt について周期的で有界である。x=z+εw(z,t)\bm{x} = \bm{z} + \varepsilon \bm{w}(\bm{z},t) で新しい変数 z\bm{z} を定義すると、

z˙(I+ε∂zw)=εf(z+εw,t)−ε∂tw=εfˉ(z)+O(ε2)\dot{\bm{z}}\bigl(I+\varepsilon \partial_{\bm{z}}\bm{w}\bigr) = \varepsilon \bm{f}(\bm{z}+\varepsilon \bm{w},t) - \varepsilon \partial_t\bm{w} = \varepsilon \bar{\bm{f}}(\bm{z}) + \mathcal{O}(\varepsilon ^2)

となる（∂tw=f−fˉ\partial_t\bm{w} = \bm{f}-\bar{\bm{f}} を使った）。よって z˙=εfˉ(z)+ε2R\dot{\bm{z}} = \varepsilon \bar{\bm{f}}(\bm{z})+\varepsilon ^2\bm{R}、R\bm{R} は有界である。e=z−y\bm{e} = \bm{z}-\bm{y} とおくと ∣e˙∣≤εK∣e∣+ε2∣R∣\lvert \dot{\bm{e}}\rvert \le\varepsilon K\lvert \bm{e}\rvert +\varepsilon ^2\lvert \bm{R}\rvert（KK は fˉ\bar{\bm{f}} の Lipschitz 定数）、∣e(0)∣≤εsup⁡∣w∣\lvert \bm{e}(0)\rvert \le\varepsilon \sup\lvert \bm{w}\rvert である。ここで Gronwall の不等式（u′≤αu+βu'\le\alpha u+\beta なら u(t)≤(u(0)+βt)eαtu(t)\le(u(0)+\beta t)\mathrm{e}^{\alpha t}という微分不等式の比較）を使うと、t≤L/εt\le L/\varepsilon で∣e(t)∣≤(εsup⁡∣w∣+ε2∣R∣L/ε)eKL=O(ε)\lvert \bm{e}(t)\rvert \le\bigl(\varepsilon \sup\lvert \bm{w}\rvert +\varepsilon ^2\lvert \bm{R}\rvert L/\varepsilon \bigr)\mathrm{e}^{KL} = \mathcal{O}(\varepsilon )。最後に ∣x−z∣=ε∣w∣=O(ε)\lvert \bm{x}-\bm{z}\rvert =\varepsilon \lvert \bm{w}\rvert =\mathcal{O}(\varepsilon ) と合わせて主張を得る。

証明の要所は、指数 eεKt\mathrm{e}^{\varepsilon K t} が t≤L/εt\le L/\varepsilon で eKL\mathrm{e}^{KL} という定数にとどまることである。時間 1/ε1/\varepsilon を超えるとこの定数が際限なく大きくなり、評価は保証を失う。平均化が保証するのは「遅い時間尺度 T=εtT=\varepsilon t で O(1)\mathcal{O}(1) の範囲」であり、それより長い時間（たとえば 1/ε21/\varepsilon ^2）を扱うには二次の平均化や、保存系なら KAM 理論のような別の道具が要る。この「速い変数について平均して遅い変数の方程式を得る」という手続きは、後の断熱定理と Born–Oppenheimer 近似で、速い電子・遅い原子核という形でもう一度現れる。

ほかの巻では

木下の勉強ステータス

木下はまだこの記事を勉強していません。

AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com

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