何を近似したか・何の実験の量で確かめるか

光学と量子エレクトロニクス　第24章 §24.5　★★ 近似は3つ（自然放出を Markov 近似で率 $\Gamma$ に閉じる・回転波近似・飽和吸収をコヒーレンスを捨てたレート方程式で書く）。確かめる量は寿命と自然幅・Doppler 幅の温度依存・Lamb の谷の幅・Ramsey の縞の幅

置いた近似

1つ目は、自然放出を光 Bloch 方程式 (24.1) の率 $\Gamma$ の項で書いたことである。この項は、原子と真空の電磁場のモードの連続体との結合を、結合が弱く、場の相関が原子の時間の尺度より速く消える極限でまとめたもので（Wigner と Weisskopf の扱い。第34章）、Lorentz 型の自然幅はこの Markov 近似の帰結である。共鳴からずっと離れた遠い裾（$\lvert \Delta\rvert$ が $\omega_0$ の程度）では、場のモードの密度が周波数によって変わることが無視できなくなり、Lorentz 型からずれる。

2つ目は、回転波近似の Hamiltonian を使ったことである（第18章）。光の周波数で速く振動する項を落としたもので、$\Omega$, $\lvert \Delta\rvert$ が $\omega_0$ よりずっと小さいときに成り立つ。この章の Rb の例では $\Gamma/\omega_0\sim10^{-8}$ で、落とした項による線の中心のずれ（Bloch–Siegert のずれ、$\Omega^2/(4\omega_0)$ の程度）は線の幅に比べて無視できる。

3つ目は、飽和吸収の式 (24.15) で、ポンプ光のもとの原子の状態を占有の差だけで書いたことである。逆向きの2本の光は空間に定在波を作り、原子の中にはポンプ光とプローブ光の両方に比例するコヒーレンスが生じる。式 (24.15) はこのコヒーレンスを捨て、占有のつり合いで方程式を閉じた。弱いポンプ光の1次では捨てた項が谷の深さを変えうるが、谷の位置（$\Delta=0$ と交差共鳴の中点）は対称性で決まるので変わらない。図 24.3 の深さは、この模型の中での値である。

このほか、Doppler 幅の計算では、速度の組が互いに独立で、測る間に原子の速度が変わらないとした。衝突で速度が変わると、ポンプ光が開けた穴が速度の分布の上でならされ、Lamb の谷が浅く太くなる。また、実際の原子には超微細構造があり、1本の閉じた遷移を2準位とみなせるのは、光の偏光と周波数を選んで原子がほかの準位へ逃げないようにしたときに限る。

何の実験の量で確かめるか

自然幅の式 (24.6) は、2つの独立な測り方を結ぶ。上の準位の寿命 $\tau$ は、パルスで原子を励起した後の蛍光の減衰から時間の側で測る。線の幅 $\Gamma$ は、Doppler 幅を除いた吸収や蛍光のスペクトルから周波数の側で測る。$\Gamma\tau=1$ がこの2つを結ぶ。Doppler 幅は式 (24.11) のとおり $\sqrt{T/m}$ に比例するので、気体の温度を変えて測るか、同じ温度で質量の違う同位体を比べれば確かめられる。

Lamb の谷は、はじめガスレーザーの出力の周波数依存として現れた。W. E. Lamb はレーザー発振の半古典の理論で、気体の利得媒質の中の定在波が $v_z=0$ の原子を二重に飽和させるので、共振器の周波数を線の中心に合わせると出力が下がることを示した¹1W. E. Lamb, Jr., “Theory of an Optical Maser,” Phys. Rev. 134, A1429 (1964).下の脚注へ閉じる。吸収の気体の外から逆向きの2本の光を当てる飽和吸収分光は、T. W. Hänsch らが波長可変の色素レーザーで Na の D 線に当て、Doppler 幅に埋もれていた超微細構造を分けて見せた²2T. W. Hänsch, I. S. Shahin, A. L. Schawlow, “High-Resolution Saturation Spectroscopy of the Sodium D Lines with a Pulsed Tunable Dye Laser,” Phys. Rev. Lett. 27, 707 (1971).下の脚注へ閉じる。いまでは、レーザーの周波数を原子の線に合わせて固定する（周波数の安定化）ための標準の道具になっている。このときレーザー自身の線幅は原子の線幅 $\Gamma$ より十分細くなければならず、第22章（第22章）のレーザーの線幅がここで要る。

Ramsey の縞は、2つの相互作用の領域の間隔 $L$ を変えて、縞の幅が $v/(2L)$ に比例して細くなることで確かめられる。