出てくるもの（2）：飽和と飽和吸収分光

光学と量子エレクトロニクス　第24章 §24.3　★★★ 均一な線は飽和しても形を保って太くなるだけだが、不均一な線では共鳴する速度の組だけが飽和して穴が開く。逆向きの2本の光は $v_z=0$ の組でしか同時に共鳴しないので、Doppler 幅の中に幅 $\Gamma$ 程度の谷（Lamb の谷）が現れる

均一な線の飽和とパワーによる広がり

強い光を当てると、式 (24.4) の分母の $s$ が無視できなくなる。単位時間に吸収する光子の数 $\Gamma\rho_{ee}$ を強度で割った断面積は

$$\sigma(\Delta,I)=\frac{\sigma_0}{1+s+4\Delta^2/\Gamma^2},\qquad s=\frac{I}{I_{\mathrm{sat}}},\qquad I_{\mathrm{sat}}=\frac{\hbar\omega_0\Gamma}{2\sigma_0}=\frac{\hbar\omega_0^3\Gamma}{12\pi c^2}\tag{24.12}$$

になる。この章の $s$ は共鳴の飽和パラメータで、第19・25章の $s_0=I/I_{\mathrm{sat}}$ にあたる（第19章の離調込みの $s$ とは違う）。$s=2\Omega^2/\Gamma^2$ と $I=\frac12c\varepsilon_0E_0^2$ から、$s=1$ となる強度が飽和強度 $I_{\mathrm{sat}}$ で、上の $I_{\mathrm{sat}}$ は第19章で定義した飽和強度（式 (19.18)）を $\sigma_0$ で書いた形である。$I_{\mathrm{sat}}$ は、断面積 $\sigma_0$ の的に光子が来る率が $\Gamma/2$ になる強度である。

式 (24.12) は $\Delta$ について Lorentz 型のままで、半値全幅は

$$\Gamma_s=\Gamma\sqrt{1+s}\tag{24.13}$$

に増える。これをパワーによる広がりと呼ぶ。線の中心では上の準位の占有がすでに $1/2$ に近く、それ以上吸収を増やせないのに、裾ではまだ占有が小さく強度に比例して吸収が増える。そのため中心が頭打ちになり、線が太く見える。均一な線では、すべての原子が同じ形で飽和するので、線の形は Lorentz 型のまま幅だけが変わる。

不均一な線に開く穴

Doppler 幅に広がった気体に、ある周波数の強い光（ポンプ光）を当てると、その周波数に共鳴する速度の組の原子だけが飽和する。ほかの速度の組の原子は光を感じないので、もとのまま下の準位にいる。速度の分布の上で、下の準位の占有と上の準位の占有の差（吸収の強さ）を見ると、共鳴する速度の組のまわりに幅 $\Gamma\sqrt{1+s}$ ほどの穴が開く。これを Bennett の穴と呼ぶ。均一な線ではどの原子も同じように飽和するので穴は開かない。穴が開くことが、広がりが不均一であることの目印になる。

この穴を弱いプローブ光で読む。強いポンプ光を $-z$ 向き、弱いプローブ光を $+z$ 向きに、同じ周波数 $\omega_{\mathrm L}$ で通す。速度の組 $u=kv_z$ の原子は、プローブ光を離調 $\Delta-u$ で、逆向きのポンプ光を離調 $\Delta+u$ で見る。上の準位の占有が自然放出とポンプ光による吸収と誘導放出のつり合いで決まるとすると（レート方程式の模型。第21章 第21章）、ポンプ光のもとでの占有の差は

$$\rho_{gg}-\rho_{ee}=\frac{1}{1+s\,\mathcal L(\Delta+u)},\qquad \mathcal L(x)\coloneqq\frac{1}{1+4x^2/\Gamma^2}\tag{24.14}$$

になる（式 (24.4) から $\rho_{gg}-\rho_{ee}=1-2\rho_{ee}$）。$\mathcal L(x)$ は中心で $1$ の Lorentz の因子で、第20〜22章の規格化した線の形 $\mathcal S$ とは別物である。プローブ光の吸収は、速度の組ごとの弱い光の吸収 $\sigma_0\mathcal L(\Delta-u)$ に占有の差を掛けて平均したもので、

$$\bar\sigma_{\mathrm{pr}}(\Delta)=\sigma_0\int f(u)\,\mathcal L(\Delta-u)\,\frac{1}{1+s\,\mathcal L(\Delta+u)}\,\mathrm{d} u\tag{24.15}$$

となる。

被積分関数の2つの Lorentz 型は、$u=\Delta$ と $u=-\Delta$ に中心を持つ。$\lvert \Delta\rvert \gg\Gamma$ では、プローブ光が読む速度の組と、ポンプ光が穴を開けた速度の組が別なので、プローブ光はもとの Doppler 幅の吸収を見る。$\lvert \Delta\rvert \lesssim\Gamma$ のときだけ2つが重なり、プローブ光はポンプ光が飽和させた原子を読むので、吸収が減る。重なるのは $u\approx0$、つまり光の進む向きに動いていない原子である。こうして Doppler 幅の吸収の中心に、細い谷が現れる。これを Lamb の谷と呼び、この谷で線の中心を読む方法を飽和吸収分光と呼ぶ。

谷の形は $\omega_{\mathrm D}\gg\Gamma$ のとき閉じた形で書ける。$f(u)$ を $f(0)$ で置き換えると、$\Delta=0$ では $\int\mathcal L(u)/(1+s\mathcal L(u))\,\mathrm{d} u=\frac\Gamma2\int\mathrm{d} x/(1+s+x^2)=\frac{\pi\Gamma}{2}\frac{1}{\sqrt{1+s}}$ なので、

$$\frac{\bar\sigma_{\mathrm{pr}}(0)}{\bar\sigma_{\mathrm{pr}}(0)|_{s=0}}=\frac{1}{\sqrt{1+s}}\approx1-\frac s2\quad(s\ll1)\tag{24.16}$$

である。谷の幅は、プローブ光の Lorentz 型（半値半幅 $\Gamma/2$）と穴の Lorentz 型（半値半幅 $\Gamma\sqrt{1+s}/2$）を、離れ $2\Delta$ で重ねたものになる。2つの Lorentz 型の畳み込みは半値半幅を足した Lorentz 型なので、$\Delta$ で測った半値全幅は

$$\Gamma_{\mathrm{Lamb}}=\frac{\Gamma}{2}\bigl(1+\sqrt{1+s}\bigr)\ \xrightarrow{s\to0}\ \Gamma\tag{24.17}$$

になる。弱いポンプ光の極限で谷の幅は自然幅（一般には均一幅 $2\gamma_\perp$）そのものになり、Doppler 幅は消える。

交差共鳴

下の準位を共有する2本の遷移 $\omega_0+\omega_1$ と $\omega_0+\omega_2$ が、同じ Doppler 幅の中にあるとする。$\omega_{12}=\omega_2-\omega_1$ が $\Gamma$ より大きく $\Gamma_{\mathrm D}$ より小さいとき、Lamb の谷はそれぞれの遷移の位置 $\Delta=\omega_1$, $\omega_2$ に現れる。それに加えて、ちょうど中点 $\Delta=(\omega_1+\omega_2)/2$ にも谷が現れる。この $\Delta$ では、速度の組 $u=\pm\omega_{12}/2$ の原子が、プローブ光を一方の遷移で、ポンプ光をもう一方の遷移で同時に吸収する。ポンプ光が共有の下の準位を空けるので、もう一方の遷移でプローブ光の吸収が減る。これを交差共鳴と呼ぶ。交差共鳴の谷は2つの速度の組（$u=+\omega_{12}/2$ と $-\omega_{12}/2$）から寄与を受けるので、弱いポンプ光の1次では、深さが本物の谷の $f(\omega_{12}/2)/f(0)$ 倍になり、$\omega_{12}\ll\omega_{\mathrm D}$ では本物の谷と同じくらい深い（図 24.3）。交差共鳴は遷移の周波数ではないが、位置が中点に決まっているので、2本の線の間隔を読む目盛りに使える。