出てくるもの（1）：Doppler 幅は不均一な広がり

光学と量子エレクトロニクス　第24章 §24.2　★★★ 速度 $v_z$ の原子は光を $\Delta-kv_z$ の離調で見る。Maxwell 分布で平均すると、線は Lorentz 型と Gauss 型の畳み込み（Voigt 型）になり、室温の Rb では Gauss 型の幅が自然幅の84倍になる

速度の組ごとの離調

気体の原子は動いている。$+z$ 向きに進む波数 $k=\omega_{\mathrm L}/c$ の光を、速度の $z$ 成分が $v_z$ の原子が見ると、原子の静止系での光の角周波数は Doppler 効果で $\omega_{\mathrm L}-kv_z$ にずれる（$v_z\ll c$ の1次）。原子の側から見た離調は $\Delta-kv_z$ である。そこで $u\coloneqq kv_z$ と置き、速度の組 $u$ ごとに静止した原子の断面積をずらして使う。温度 $T$ の気体の $v_z$ は Maxwell 分布に従うので、$u$ の分布は

$$f(u)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\omega_{\mathrm D}}\exp\Bigl(-\frac{u^2}{2\omega_{\mathrm D}^2}\Bigr),\qquad \omega_{\mathrm D}=k\sqrt{\frac{ k_{\mathrm B} T}{m}}=\omega_0\sqrt{\frac{ k_{\mathrm B} T}{mc^2}}\tag{24.8}$$

の Gauss 分布になる（$m$ は原子の質量）。気体全体の断面積は、速度の組ごとの断面積の平均

$$\bar\sigma(\Delta)=\int_{-\infty}^{\infty}f(u)\,\sigma(\Delta-u)\,\mathrm{d} u\tag{24.9}$$

で、Lorentz 型 $\sigma$ と Gauss 型 $f$ の畳み込みになる。この形を Voigt 型と呼ぶ。

2つの極限

$\omega_{\mathrm D}\gg\gamma_\perp$ のとき、$\sigma(\Delta-u)$ は $u=\Delta$ の近くの幅 $\gamma_\perp$ の範囲にしか値を持たないので、$f(u)$ をその点の値で置き換えて

$$\bar\sigma(\Delta)\approx f(\Delta)\int\sigma\,\mathrm{d}\Delta=\frac{3\lambda^2\Gamma}{4}\,f(\Delta)\tag{24.10}$$

となる。線は Gauss 型で、半値全幅は

$$\Gamma_{\mathrm D}=2\sqrt{2\ln2}\,\omega_{\mathrm D}=\omega_0\sqrt{\frac{8\ln2\, k_{\mathrm B} T}{mc^2}}\tag{24.11}$$

である。これを Doppler 幅と呼ぶ。第20章（第20章）の $\delta\omega_{\mathrm D}$、第22章（第22章）の $2\pi\Delta\nu_{\mathrm D}$ と同じ量である。式 (24.10) の係数は式 (24.7) の線の面積そのもので、Doppler 効果も衝突と同じく線の面積を変えない。ピークの断面積は $\sigma_0\cdot(\pi\Gamma/2)f(0)=\sigma_0\sqrt{\pi/8}\,\Gamma/\omega_{\mathrm D}$（自然幅だけのとき）に下がる。

Gauss 型の中心では Gauss 型が、遠い裾では Lorentz 型が残る。Gauss 型は $\exp(-\Delta^2/2\omega_{\mathrm D}^2)$ で速く減るが、Lorentz 型は $\Delta^{-2}$ でしか減らないので、十分遠い離調では Lorentz 型の裾が必ず上に出る（図 24.2）。この裾は、静止系で遠く離調した光を、ほとんどの原子が自分の Lorentz 型の裾で弱く吸収したものである。

Doppler 幅と自然幅の違いは、広がりの意味にある。Doppler 幅の中のある周波数の光を吸収するのは、その周波数に共鳴する速度の組の原子だけで、ほかの原子はその光をほとんど感じない。原子1個の線は幅 $\Gamma$ のままで、線の中心が原子ごとにずれている。この区別は 24.3節で使う。