この章で取り出すもの：熱放射のモードと縮退のある2準位

光学と量子エレクトロニクス　第20章 §20.1　★★★ 光をエネルギー密度 $u(\omega)$ だけで、原子を2つの準位の占有数だけで書き、3つの過程の速さを $B_{12}u$・$B_{21}u$・$A_{21}$ と置く

第18章と第19章では、2準位の原子を1本のレーザー光で駆動し、状態の重ね合わせ（コヒーレンス）がどう動くかを追った（第18章・第19章）。そこで中心にあったのは Rabi 周波数 $\Omega$ と離調 $\Delta$ で、原子の状態は Bloch 球の上を回った。ところが、ランプの光や太陽の光、熱放射のように周波数の広がった光を当てると、原子は Bloch 球の上を回らず、上の準位にいる確率がなめらかに増えて一定の値に落ち着く。このときの原子の振る舞いは、単位時間あたりに何回遷移するかという速さだけで書くことができる。レーザーの発振条件（第21章・第22章）も、原子を光で冷やす散乱力（第25章）も、この速さの言葉で書かれる。

この章は、その速さの言葉の基礎になる関係を導く。Einstein が 1917 年に導入した3つの係数、つまり吸収の $B_{12}$、誘導放出の $B_{21}$、自然放出の $A_{21}$ は、原子と熱放射が熱平衡にあるという条件だけで、原子の中身を何も知らないまま互いの比が決まる¹1A. Einstein (1917), Physikalische Zeitschrift 18, 121–128「放射の量子論について」。下の脚注へ閉じる。第1章ではこの関係を結果だけ引いた（第1章）。この章ではそれを縮退のある準位まで含めて導き、さらに係数そのものを双極子の行列要素で書き、実験で測る吸収断面積と利得の係数へ読み替える。

章の型（第1章）に当てはめると、取り出す場のモードは箱の中の全モード（熱放射なら等方的で偏光のそろわない光）、物質のモデルは縮退のある2つの準位、結合は3つの遷移の速さである。20.1節で3つの過程と速さの方程式を置く。20.2節で詳細つり合いと Planck 分布から係数の関係を出し、誘導放出が無ければ Wien の式しか出ないことを確かめる。20.3節で、第18章の回転波近似の結果と Fermi の黄金律から $B$ を双極子の行列要素で書き、$A$ と振動子強度を求める。20.4節で、スペクトルの線形を入れて吸収断面積・利得の係数・Kirchhoff の法則を出す。20.5節で置いた近似と測る量を述べ、20.6節で $u(\nu)$ や強度を基準にした授業の流儀と対応させ、20.7節でまとめる。

モード・物質・結合の3つの選び方

この章で取り出す場のモードは、体積 $V$ の箱の中のすべてのモードである。第1章で数えたとおり、角周波数 $\omega$ と $\omega+\mathrm{d}\omega$ の間にあるモードの数は、2つの偏光を合わせて$g(\omega)\,\mathrm{d}\omega$, $g(\omega)=V\omega^2/(\pi^2c^3)$ である（第1章）。熱平衡の放射では、各モードに平均 $\bar n_{\mathrm{ph}}(\omega,T)=1/(\mathrm{e}^{\hbar\omega/ k_{\mathrm B} T}-1)$ 個の光子がいるので、単位体積・単位角周波数あたりのエネルギー密度は

$$u(\omega)=\frac{g(\omega)}{V}\hbar\omega\,\bar n_{\mathrm{ph}}(\omega,T)=\frac{\hbar\omega^3}{\pi^2c^3}\,\frac{1}{\mathrm{e}^{\hbar\omega/ k_{\mathrm B} T}-1}\tag{20.1}$$

になる（Planck の式。黒体放射の統計力学は 解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第5部第3章）。この章では、光の状態を個々のモードの振幅や位相で書かず、$u(\omega)$ という1つの関数だけで書く。熱放射は等方的で、偏光もそろっていない。異なるモードの位相は互いに無関係（インコヒーレント）なので、光が原子に及ぼす作用は、各モードの作用の確率をそのまま足したものになる。この「確率を足してよい」ことが、速さの言葉が成り立つ前提であり、20.3節と20.5節でその条件を確かめる。

物質のモデルは、エネルギー $E_1<E_2$ の2つの準位を持つ原子である。第18章の $| g \rangle$, $| e \rangle$ と違い、各準位は縮退していてよい。準位1は $g_1$ 個、準位2は $g_2$ 個の状態からなり（たとえば全角運動量 $J$ の準位は $g=2J+1$）、その状態を $| 1,m_1 \rangle$ ($m_1=1,\dots,g_1$), $| 2,m_2 \rangle$ ($m_2=1,\dots,g_2$) と書く。遷移の角周波数は $\omega_0=(E_2-E_1)/\hbar$ である。単位体積あたりの原子の数を準位ごとに $N_1$, $N_2$ と書き、その和を $N=N_1+N_2$ とする。縮退の数 $g_1$, $g_2$ は添字つき、モードの数 $g(\omega)$ は引数つきで書き分ける。

結合は、原子が光の場から受ける遷移である。Einstein は次の3つの過程を考えた（図 20.1）。

吸収：準位1の原子が光のエネルギー $\hbar\omega_0$ を受け取って準位2へ上がる。その速さ（1原子・単位時間あたりの遷移の回数）は、遷移の周波数での放射のエネルギー密度に比例するとし、$B_{12}u(\omega_0)$ と書く。

誘導放出：準位2の原子が光に促されて準位1へ下がり、$\hbar\omega_0$ を光の場へ渡す。速さは同じく $u(\omega_0)$ に比例するとし、$B_{21}u(\omega_0)$ と書く。

自然放出：準位2の原子が、光が無くても準位1へ下がる。速さは放射によらない定数 $A_{21}$ である。

速さの方程式

3つの過程の速さを原子の数に掛けて足すと、準位2の原子の数密度の変化は

$$\frac{\mathrm{d} N_2}{\mathrm{d} t}=B_{12}u(\omega_0)N_1-B_{21}u(\omega_0)N_2-A_{21}N_2=-\frac{\mathrm{d} N_1}{\mathrm{d} t}\tag{20.2}$$

になる。この式は、原子1個の状態を確率で書いた式でもある。原子が準位2にいる確率を $P_2=N_2/N$ とすれば、式 (20.2) を $N$ で割った式が $P_2$ の方程式になる。ここに確率の重ね合わせ（振幅の干渉）は現れない。第19章の光 Bloch 方程式では、占有数の変化がコヒーレンス $\rho_{eg}$ を通して起きた。式 (20.2) は、そのコヒーレンスが光の広がりや緩和ですぐに失われ、占有数だけが残った場合の式である。どういう条件でそうなるかは20.5節で調べる。

Einstein の係数は、この本では角周波数あたりのエネルギー密度 $u(\omega)$ を基準に定義する（記法の正本 §9）。周波数あたりの $u(\nu)$ を基準にする教科書とは $B$ が $2\pi$ 倍違う。対応は20.6節でまとめる。

1　A. Einstein (1917), Physikalische Zeitschrift 18, 121–128「放射の量子論について」。