何を近似したか・何の実験の量で確かめるか

光学と量子エレクトロニクス　第20章 §20.5　★★ 速さの言葉はコヒーレンスが占有数より速く失われる極限（$T_2/T_1\to0$）の近似で、定常の値は光 Bloch 方程式と一致する。A は寿命で、B は積分した吸収で測り、比が式 (20.6) を満たすかで確かめる

置いた近似

この章で近似を置いたのは2か所である。

1つ目は、遷移を速さで書いたことである。式 (20.10) は、時間 $t$ が光のスペクトルの広がり $\delta\omega$ の逆数より十分長く、しかも遷移の確率が $1$ よりずっと小さい（$Wt\ll1$）時間の窓で成り立つ。窓が存在する条件は $W\ll\delta\omega$ で、広がった光の場合、これは「Rabi 周波数の2乗を光の幅で割ったもの」が光の幅より小さいことに当たる。原子の側に緩和があれば条件はゆるむ。自然幅 $\Gamma$ の原子を単色の光で照らす場合は、第19章の光 Bloch 方程式でコヒーレンス $\rho_{eg}$ が占有数より速く減る（$T_2\ll$ 占有数の変わる時間）とき、$\rho_{eg}$ をその瞬間の占有数で決まる値に置き換えることができる。この置き換えをコヒーレンスの断熱消去と呼び、置き換えた結果が速さの方程式 (20.2) で、速さは $W=\Omega^2/\Gamma\cdot1/(1+4\Delta^2/\Gamma^2)$ になる（第19章の式 (19.24) で $T_2=2/\Gamma$ としたもの）（式 (20.19) と式 (20.17) から出る値と同じ。総合問題で確かめる）。小さいパラメータは $T_2/T_1$（コヒーレンスの寿命と占有数の寿命の比）で、さらに $\Omega T_2\ll1$ のとき Rabi 振動が起きない。

自然放出だけで緩和する原子では $T_2=2T_1$ で、$T_2/T_1$ は小さくない。図 20.4 は、共鳴で $\Omega=\Gamma/2$ と $\Omega=3\Gamma$ の2つの場合に、光 Bloch 方程式の解と速さの方程式の解を比べたものである。$\Omega=\Gamma/2$ では Rabi 振動は起きないが、光 Bloch 方程式の解はコヒーレンスが育つまで $t^2$ で立ち上がる分だけ遅れ、$\Gamma t\approx5$ を過ぎてから速さの方程式の解に重なる。$\Omega=3\Gamma$ では光 Bloch 方程式の解が Rabi 振動で振れる。どちらの場合も、十分時間が経ったあとの値は一致する。つまり自然幅だけの原子で、速さの方程式から正しく求まるのは定常の値と長い時間の振る舞いだけである。衝突や光のスペクトルの広がりでコヒーレンスが $T_1$ よりはるかに速く失われる場合には、過渡の振る舞いまで速さの方程式で書くことができる。

図 20.4　共鳴の単色の光で照らした2準位の原子（自然幅 $\Gamma$、$T_2=2T_1$）。点線が光 Bloch 方程式の解（厳密）、実線が速さの方程式の解（コヒーレンスを断熱消去した近似、$W=\Omega^2/\Gamma$）。$\Omega=\Gamma/2$ では Bloch 方程式の解が立ち上がりで遅れ、$\Gamma t\approx5$ で追いつく。$\Omega=3\Gamma$ では Bloch 方程式の解が Rabi 振動で振れるが、行き着く値 $\Omega^2/(\Gamma^2+2\Omega^2)=0.474$ は両者で同じである。

2つ目は、自然放出を一定の速さ $A_{21}$ の指数関数的な減衰としたことである。原子は連続無限個の真空のモードに弱く結合していて、その結合が光の周期よりはるかに長い時間 $1/A_{21}$ をかけて原子を減衰させる。原子が放った光が原子の位置へ戻ってくる効果はすぐに消えるとして（Markov 近似）、減衰を一定の速さで書いた。小さいパラメータは $A_{21}/\omega_0$ で、Lyman $\alpha$ 線で $4\times10^{-8}$ の桁である。指数関数からのずれはごく短い時間（光の周期の桁）とごく長い時間に現れるが、ふつうの測定では見えない。この近似の中身は第34章の Wigner–Weisskopf の計算で扱う（第34章）。

熱平衡の議論（20.2節）そのものは近似を含まない。詳細つり合い・Boltzmann 分布・Planck の式は統計力学の厳密な結果で、そこから出る係数の比も厳密である。ただし、係数を「温度によらない原子の定数」とした仮定は、原子が放射によって変形しない弱い光でだけ成り立つ。

何の実験の量で確かめるか

自然放出の速さ $A_{21}$ は、上の準位の寿命として測る。短いパルスの光で原子を一斉に上の準位へ上げ、出てくる蛍光の強さが時間とともに $\mathrm{e}^{-A_{21}t}$ で減るのを測れば、減衰の時定数が $1/A_{21}$ である（下の準位が基底状態で、上の準位からほかの準位への遷移が無い場合）。

$B_{12}$ は積分した吸収で測る。式 (20.21) の $\alpha_{\mathrm{abs}}(\omega)$ を周波数で積分すると、線形関数の面積が $1$ なので、上の準位の占有が無視できる（$N_2\approx0$）とき

$$\int\alpha_{\mathrm{abs}}(\omega)\,\mathrm{d}\omega=N_1\int\sigma_{12}\,\mathrm{d}\omega=N_1\frac{\hbar\omega_0}{c}B_{12}=N_1\frac{g_2}{g_1}\frac{\lambda^2}{4}A_{21}\tag{20.23}$$

になる。積分すると線形が消えるので、Doppler 幅や圧力による広がりがどうであっても、結果は線の強さだけで決まる。数密度 $N_1$ が分かれば、吸収の測定から $A_{21}$ を予言することができ、それを寿命の測定と比べることができる。2つの値が一致することが、式 (20.6) の実験による確認になる。反対に、吸収と寿命の値が一致しなければ、上の準位から別の準位へ落ちる道がある（分岐がある）か、数密度の見積もりが違っている。

速さの言葉が使えなくなるのは、光 Bloch 方程式でコヒーレンスが残る場合である。強いレーザー光で短い時間だけ照らすと Rabi 振動が見え（第19章）、そのとき吸収を「速さ×時間」で書くことはできない。