授業で習った形との対応

光学と量子エレクトロニクス　第20章 §20.6　★★ 授業や教科書の $A=\frac{8\pi h\nu^3}{c^3}B$ は $u(\nu)$ 基準の係数で、この章の $B$ とは $2\pi$ 倍違う。強度基準の係数ではさらに $c$ が入る

周波数あたりのエネルギー密度を基準にする流儀

学部の量子エレクトロニクスやレーザー工学の授業は、多くの場合、周波数 $\nu$ あたりのエネルギー密度

$$u_\nu(\nu)=\frac{8\pi h\nu^3}{c^3}\,\frac{1}{\mathrm{e}^{h\nu/ k_{\mathrm B} T}-1}\tag{20.24}$$

を使い、吸収の速さを $B_{12}^{(\nu)}u_\nu(\nu_0)$ と書く。同じ光のエネルギーを $\omega$ で数えても $\nu$ で数えても同じなので、$u_\nu(\nu)\,\mathrm{d}\nu=u(\omega)\,\mathrm{d}\omega$、$\mathrm{d}\omega=2\pi\,\mathrm{d}\nu$ から $u_\nu=2\pi u$ である。速さ $B^{(\nu)}u_\nu=Bu$ が同じであるためには

$$B^{(\nu)}=\frac{B}{2\pi},\qquad A_{21}=\frac{8\pi h\nu_0^3}{c^3}B_{21}^{(\nu)}\tag{20.25}$$

でなければならない。授業で習う $A=\frac{8\pi h\nu^3}{c^3}B$ は、この章の $A=\frac{\hbar\omega^3}{\pi^2c^3}B$ と同じ関係を別の基準で書いたもので、$A_{21}$ は基準によらない。$g_1B_{12}=g_2B_{21}$ はどの基準でも同じ形である。

強度（単位面積・単位時間あたりのエネルギー）を基準にする流儀もある。平行な光の強度は $I=cu$ なので、強度あたりの係数は $B/c$ になる。さらに単位立体角あたりの放射輝度を基準にする天文学の流儀では$A_{21}=\frac{2h\nu^3}{c^2}B_{21}^{(\nu,\mathrm{rad})}$ と書く（放射輝度は $\frac{c}{4\pi}u_\nu$ なので $B^{(\nu,\mathrm{rad})}=\frac{4\pi}{c}B^{(\nu)}$）。基準ごとの違いは Hilborn の解説にまとまっている¹1R. C. Hilborn (1982), American Journal of Physics 50, 982–986「Einstein coefficients, cross sections, f values, dipole moments, and all that」。下の脚注へ閉じる。

2準位と Bloch 方程式との関係

量子エレクトロニクスの授業では、Einstein 係数を熱平衡から導いたあと、レーザーの話へ進むときに速さの方程式 (20.2) を使い、Rabi 振動と光 Bloch 方程式は別の回に扱うことが多い。この巻では2つを1本の筋で読む。光 Bloch 方程式（第19章）でコヒーレンスを断熱消去すると速さの方程式になり（20.5節）、そのときの速さ $W=\Omega^2/\Gamma\cdot1/(1+4\Delta^2/\Gamma^2)$ を光の強度で書き直したものが断面積 (20.19) である。授業で別々に習う「Rabi 周波数」と「Einstein の B 係数」は、どちらも同じ行列要素 $\bm{d}_{eg}$ の2乗を、コヒーレントな光とインコヒーレントな光のそれぞれで読んだ量である。