この章のまとめ

(1) $\omega_0=2\pi c/\lambda=2.415\times10^{15}\,\mathrm{s^{-1}}$ で、$B_{21}=\pi^2c^3A_{21}/(\hbar\omega_0^3)=6.80\times10^{21}\,\mathrm{m^3\,J^{-1}\,s^{-2}}$。誘導放出／自然放出は $\bar n_{\mathrm{ph}}=1/(\mathrm{e}^{\hbar\omega_0/ k_{\mathrm B} T}-1)=1.98\times10^{-27}$ 倍で、室温の熱放射は可視光に近いこの遷移にまったく寄与しない（第1章の熱の光子の議論と同じ）。

(2) 式 (20.13) で $g_2=1$, $S_{12}=\lvert \bm{d}_{eg}\rvert ^2$ として $\lvert \bm{d}_{eg}\rvert ^2=3\pi\varepsilon_0\hbar c^3A_{21}/\omega_0^3$、$\lvert \bm{d}_{eg}\rvert =2.98\,ea_0$ である。$A_{21}$ は1つの双極子がすべての向きへ光を出す速さなので、双極子の向きはここでは平均されていない。

(3) 光の偏光が双極子の向きにそろっているので、$\lvert \bm{d}_{eg}\cdot\bm{e}\rvert ^2=\lvert \bm{d}_{eg}\rvert ^2$ で、向きの平均の $\frac13$ が付かない。共鳴の断面積は式 (20.20) の3倍の $\sigma_0=3\lambda^2/(2\pi)=2.90\times10^{-13}\,\mathrm{m^2}$ である。Doppler 幅は式 (20.18) から $\delta\omega_{\mathrm D}/2\pi=511\,\mathrm{MHz}$ で、自然幅 $\Gamma/2\pi=6.05\,\mathrm{MHz}$ の約 $85$ 倍である。断面積は $\mathcal S$ に比例し、線の中心では$\mathcal S_{\mathrm G}(\omega_0)/\mathcal S_{\mathrm L}(\omega_0)=\frac{\pi\Gamma}{2}\cdot\frac{2}{\delta\omega_{\mathrm D}}\sqrt{\ln2/\pi}=0.0175$ 倍、つまり $5.07\times10^{-15}\,\mathrm{m^2}$ に小さくなる。線の面積は変わらないので、吸収の強さを広い周波数に配り直しただけである。

(4) $g_1=g_2$ なので $\sigma_{12}=\sigma_{21}$ で、吸収と誘導放出の速さはどちらも $W$ である。式 (20.2) は $\frac{\mathrm{d} \rho_{ee}}{\mathrm{d} t}=W(1-\rho_{ee})-W\rho_{ee}-\Gamma\rho_{ee}$ になり、定常解は

$$\rho_{ee}=\frac{W}{\Gamma+2W}=\frac12\,\frac{2W/\Gamma}{1+2W/\Gamma}$$

である。強度を上げると $\rho_{ee}\to\frac12$ に近づき、それを超えない（2準位では反転分布を作れない。第21章）。$\rho_{ee}=\frac14$ になるのは $2W/\Gamma=1$ のときで、共鳴の $W=\sigma_0I/(\hbar\omega_0)$ から

$$I_{\mathrm s}=\frac{\hbar\omega_0\Gamma}{2\sigma_0}=\frac{\hbar(2\pi c/\lambda)A_{21}}{2\cdot3\lambda^2/(2\pi)}=\frac{2\pi^2\hbar cA_{21}}{3\lambda^3}=\frac{\pi hcA_{21}}{3\lambda^3}=16.7\,\mathrm{W\,m^{-2}}=1.67\,\mathrm{mW\,cm^{-2}}$$

を得る。

(5) 定常で $\frac{\mathrm{d} \rho_{eg}}{\mathrm{d} t}=0$ から $\rho_{eg}=-\frac{\mathrm{i}\Omega(1-2\rho_{ee})/2}{\mathrm{i}\Delta-\Gamma/2}$、その虚部は $\operatorname{Im}\rho_{eg}=\frac{\Omega}{2}(1-2\rho_{ee})\frac{\Gamma/2}{\Delta^2+\Gamma^2/4}$ である。これを $\Omega\operatorname{Im}\rho_{eg}=\Gamma\rho_{ee}$ に入れて解くと

$$\rho_{ee}=\frac{\Omega^2/4}{\Delta^2+\Gamma^2/4+\Omega^2/2}.$$

一方、(4) の $W/(\Gamma+2W)$ に $W=\frac{\Omega^2}{\Gamma}\frac{1}{1+4\Delta^2/\Gamma^2}=\frac{\Omega^2}{4}\frac{\Gamma}{\Delta^2+\Gamma^2/4}$ を入れると、分子と分母に $(\Delta^2+\Gamma^2/4)/\Gamma$ を掛けて同じ式になる。2つの定常解はすべての $\Omega$, $\Delta$ で一致する。この $W$ が (4) の断面積の式と同じであることは、$\sigma_{12}=\sigma_0/(1+4\Delta^2/\Gamma^2)$, $I=\frac12c\varepsilon_0E_0^2$, $\Omega=\lvert \bm{d}_{eg}\rvert E_0/\hbar$ と (2) の $\lvert \bm{d}_{eg}\rvert ^2$ から$\sigma_0I/(\hbar\omega_0)=\Omega^2/\Gamma$ が出ることで確かめられる。同じく $I/I_{\mathrm s}=2W_0/\Gamma=2\Omega^2/\Gamma^2$（$W_0$ は共鳴の $W$）で、定常解は$\rho_{ee}=\frac12\frac{I/I_{\mathrm s}}{1+I/I_{\mathrm s}+4\Delta^2/\Gamma^2}$ と書ける。分母の $I/I_{\mathrm s}$ のために、強い光では共鳴の幅が $\Gamma\sqrt{1+I/I_{\mathrm s}}$ に広がる（パワー広がり）。

過渡の振る舞いは違う。速さの方程式では $\rho_{ee}$ が時定数 $1/(\Gamma+2W)$ で単調に定常値へ近づくのに対し、光 Bloch 方程式では、コヒーレンスが育つまでの立ち上がりが $t^2$ で遅れ、$\Omega\gtrsim\Gamma$ のときは Rabi 振動で振れながら近づく（図 20.4）。定常の値だけを使う量（散乱される光子の数 $\Gamma\rho_{ee}$、第25章の散乱力）は速さの方程式で正しく計算でき、光を当て始めた直後の振る舞いは光 Bloch 方程式が要る。