出てくるもの（2）：吸収断面積・利得・Kirchhoff の法則

光学と量子エレクトロニクス　第20章 §20.4　★★★ スペクトルの線形 $\mathcal S(\omega)$ を入れると、単色の光への応答が断面積 $\sigma_{21}=\frac{\lambda^2}{4}A_{21}\mathcal S$ で書け、$N_2/g_2>N_1/g_1$ なら吸収が利得に変わる

スペクトルの線形

20.3節では、原子の遷移の幅が光のスペクトルの広がりより狭いとして $u(\omega_0)$ を取り出した。実際の原子の遷移にも幅がある。上の準位は $1/A_{21}$ の寿命で減るので、エネルギーは $\hbar A_{21}$ の桁でぼやける（自然幅）。気体の原子は熱運動で動いているので、Doppler 効果で遷移の周波数が原子ごとにずれる（Doppler 幅。線幅の全体は第24章 第24章）。遷移がどの周波数の光にどれだけ応答するかを、面積が $1$ になる関数 $\mathcal S(\omega)$（線形関数、$\int\mathcal S(\omega)\,\mathrm{d}\omega=1$）で表す（第21・22章と同じ記号）。速さはスペクトルとの重なりで

$$W_{12}=B_{12}\int u(\omega)\mathcal S(\omega)\,\mathrm{d}\omega\tag{20.16}$$

になる。光のスペクトルが遷移の幅より広ければ $u$ を $u(\omega_0)$ で置き換えて式 (20.2) に戻り、逆に単色の光 $u(\omega)=(I/c)\,\delta(\omega-\omega_{\mathrm L})$（強度 $I$ の平行な光）なら$W_{12}=B_{12}(I/c)\mathcal S(\omega_{\mathrm L})$ になる。自然幅だけの線形は Lorentz 型

$$\mathcal S_{\mathrm L}(\omega)=\frac{\Gamma/(2\pi)}{(\omega-\omega_0)^2+\Gamma^2/4},\qquad \mathcal S_{\mathrm L}(\omega_0)=\frac{2}{\pi\Gamma}\tag{20.17}$$

で、全幅 $\Gamma$ は下の準位が安定なら $A_{21}$ に等しい（第19章の $T_1=1/\Gamma$, $T_2=2/\Gamma$ の場合）。Doppler 幅の線形は Gauss 型で、全幅（半値全幅）を $\delta\omega_{\mathrm D}$ とすると

$$\mathcal S_{\mathrm G}(\omega)=\frac{2}{\delta\omega_{\mathrm D}}\sqrt{\frac{\ln2}{\pi}}\exp\Bigl[-4\ln2\,\frac{(\omega-\omega_0)^2}{\delta\omega_{\mathrm D}^2}\Bigr],\qquad \delta\omega_{\mathrm D}=\omega_0\sqrt{\frac{8 k_{\mathrm B} T\ln2}{Mc^2}}\tag{20.18}$$

である（$M$ は原子の質量。$\delta\omega_{\mathrm D}$ は第24章の $\Gamma_{\mathrm D}$ と同じ量、第24章）。2つの線形は面積が同じで、裾の落ち方が違う（図 20.3）。Lorentz 型の裾は $(\omega-\omega_0)^{-2}$ でゆっくり落ち、Gauss 型の裾は指数関数的に速く落ちる。

吸収断面積

単色の光が原子1個から単位時間に奪うエネルギーは $\hbar\omega\,W_{12}=\hbar\omega B_{12}(I/c)\mathcal S(\omega)$ で、これを強度 $I$ で割った面積が吸収断面積である。誘導放出の断面積も同じように定義すると、式 (20.6) を使って

$$\sigma_{12}(\omega)=\frac{\hbar\omega}{c}B_{12}\mathcal S(\omega),\qquad \sigma_{21}(\omega)=\frac{\hbar\omega}{c}B_{21}\mathcal S(\omega)=\frac{\lambda^2}{4}A_{21}\mathcal S(\omega),\qquad g_1\sigma_{12}=g_2\sigma_{21}\tag{20.19}$$

になる（$\lambda=2\pi c/\omega$。$\omega\approx\omega_0$ の幅の中で $\omega$ の変化は無視した）。最後の形では、断面積は自然放出の速さ $A_{21}$ と線形関数と波長だけで書け、双極子の行列要素はどこにも現れない。$A_{21}$ を寿命の測定で、$\mathcal S$ を分光で決めれば、断面積を計算することができる。

自然幅だけの場合（$\Gamma=A_{21}$）、共鳴での断面積は $\mathcal S_{\mathrm L}(\omega_0)=2/(\pi A_{21})$ を入れて

$$\sigma_{21}(\omega_0)=\frac{\lambda^2}{2\pi}\tag{20.20}$$

になり、$A_{21}$ にさえよらない。共鳴の原子の断面積は、光の波長の2乗の桁の面積になる。これは原子の大きさ（$a_0^2$ の桁）よりはるかに大きい（第10章の総合問題 第10章）。式 (20.20) は偏光と向きを平均した値で、双極子の向きにそろった直線偏光の光を当てると、平均の $1/3$ が $1$ に置き換わるので $3\lambda^2/(2\pi)$ になる。

吸収係数と利得

数密度 $N_1$, $N_2$ の原子の気体の中を強度 $I$ の単色の光が進むと、吸収で $\sigma_{12}N_1I$、誘導放出で $\sigma_{21}N_2I$ だけ単位長さあたりの強度が変わる。誘導放出の光は促した光と同じモード（同じ向き・同じ周波数・同じ偏光）へ入るので、光の強度にそのまま加わる。自然放出の光はすべての方向へ散らばるので、平行な光の強度にはほとんど寄与しない。したがって

$$\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} z}=-\alpha_{\mathrm{abs}}(\omega)I,\qquad \alpha_{\mathrm{abs}}(\omega)=\sigma_{12}N_1-\sigma_{21}N_2=\sigma_{21}(\omega)\,g_2\Bigl(\frac{N_1}{g_1}-\frac{N_2}{g_2}\Bigr)\tag{20.21}$$

である（吸収係数の記号は第10章と同じ $\alpha_{\mathrm{abs}}$）。熱平衡では $N_2/g_2<N_1/g_1$（式 (20.3)）なので $\alpha_{\mathrm{abs}}>0$ で、光は吸収される。もし $N_2/g_2>N_1/g_1$、つまり状態1つあたりの占有が上の準位で多い反転分布を作れれば、$\alpha_{\mathrm{abs}}<0$ になり光は進むほど強くなる。$-\alpha_{\mathrm{abs}}$ を利得係数と呼ぶ。2つの準位だけで反転分布を作れるか、作れないならどうするかは第21章の主題である（第21章）。

Kirchhoff の法則

気体が光を出す強さも Einstein 係数で書ける。単位体積・単位時間・単位角周波数・単位立体角あたりに自然放出で出るエネルギー（放射率）は、等方的な放出なので$j(\omega)=\hbar\omega A_{21}N_2\mathcal S(\omega)/(4\pi)$ である。放射率と吸収係数の比は、式 (20.19) と式 (20.21) から

$$\frac{j(\omega)}{\alpha_{\mathrm{abs}}(\omega)}=\frac{\hbar\omega A_{21}N_2/(4\pi)}{\frac{\lambda^2}{4}A_{21}g_2\bigl(\frac{N_1}{g_1}-\frac{N_2}{g_2}\bigr)} =\frac{\hbar\omega^3}{4\pi^3c^2}\,\frac{1}{\dfrac{g_2N_1}{g_1N_2}-1}\tag{20.22}$$

になる。線形関数 $\mathcal S$ と $A_{21}$ は約分で消え、比は占有数の比だけで決まる。原子の占有数が温度 $T$ の Boltzmann 分布 (20.3) に従えば、比は$\frac{\hbar\omega^3}{4\pi^3c^2}\frac{1}{\mathrm{e}^{\hbar\omega/ k_{\mathrm B} T}-1}=\frac{c}{4\pi}u(\omega)$ になり、温度 $T$ の黒体の放射輝度（単位立体角あたりの強度）に等しい。これが Kirchhoff の法則である。よく吸収する物体はよく光を出し、放射率と吸収係数の比は物質によらず温度だけで決まる。光学的に厚い（$\alpha_{\mathrm{abs}} L\gg1$）気体は、線の中心で黒体と同じ明るさで光る。