この章で取り出すもの：平面波と巨視的な分極

光学と量子エレクトロニクス　第10章 §10.1　★★★ 原子の大きさと波長の間の長さで平均すると、物質の電荷は束縛電荷 $-\nabla\cdot\bm{P}$ と分極電流 $\partial_t\bm{P}$ にまとまり、物質中の Maxwell 方程式が閉じた形になる

第1章では、物質を Lorentz 振動子か2準位系に縮め、その応答を分極率 $\alpha(\omega)$ という1つの複素数にまとめた（第1章）。第3部では、この分極率を出発点にして、物質の中を進む光の振る舞い（屈折・分散・吸収・反射・偏光・非線形な応答）を順に組み立てる。その最初の段として、この章は物質のモデルをまだ選ばない。仮定するのは、物質の応答が電場に比例し（線形）、過去の電場だけに依り（因果的）、同じ点の電場だけで決まる（局所的）ことの3つだけである。この3つから、物質中の Maxwell 方程式と、物質の光学的な性質を表す光学定数（複素屈折率 $\tilde n=n+\mathrm{i}\kappa$ と吸収係数）が決まる。

章の型（第1章 第1章 の「章の型」）に当てはめると、取り出す場のモードは一様な媒質の中の平面波、物質のモデルは感受率 $\chi(\omega)$ を持つ連続体、結合は分極 $\bm{P}$ を通した Maxwell 方程式への寄与である。10.1節で、原子の集まりを平均して巨視的な分極 $\bm{P}$ を定義し、物質中の Maxwell 方程式を書く。10.2節で、線形・因果的・局所的な応答を感受率 $\chi(\omega)$ と誘電関数 $\varepsilon_{\mathrm r}(\omega)$ で書き、$\chi(\omega)$ が満たす3つの性質（実数性・上半面での解析性・受動性）を示す。10.3節で平面波の分散関係 $k^2=\varepsilon_{\mathrm r}\omega^2/c^2$ を出し、複素屈折率を定義する。10.4節で、物質中の Poynting の定理から吸収係数を出し、希薄な気体では吸収が1原子あたりの断面積で書けることを示す。10.5節で置いた近似と、光学定数を測る実験の量を述べ、10.6節で授業の書き方（工学の符号の流儀を含む）と対応させ、10.7節でまとめる。

モード・物質・結合の3つの選び方

この章で取り出す場のモードは、一様で無限に広い媒質の中の平面波$\bm{E}(\bm{r},t)=\operatorname{Re}[\bm{E}_0\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\bm{k}\cdot\bm{r}-\omega t)}]$ である。真空の箱のモード（第1章）と違い、境界が無いので波数 $\bm{k}$ は連続に取れる。平面波は、一様な媒質の Maxwell 方程式を空間と時間の並進で対角化したときの固有モードであり、媒質が一様である限り、異なる $\bm{k}$ と $\omega$ の平面波は互いに混ざらない。第14章（第14章）で境界を入れると、境界の両側の平面波が境界条件でつながる。

物質のモデルは、この章では具体的に選ばない。物質の応答はすべて巨視的な分極 $\bm{P}(\bm{r},t)$（単位体積あたりの電気双極子モーメント）に押し込め、$\bm{P}$ と $\bm{E}$ の関係を感受率 $\chi(\omega)$ という1つの関数で書く（10.2節）。$\chi(\omega)$ の中身を Lorentz 振動子で与えるのが第11章、自由電子で与えるのが第13章、2準位の原子で与えるのが第18章以降である。

結合は、分極 $\bm{P}$ が Maxwell 方程式の電荷と電流に入る形で表される。微視的には、原子の中の電子と原子核が電場で動かされ、動いた電荷が作る場がもとの場に加わる。この往復を、平均した量 $\bm{P}$ だけで閉じた方程式にするのがこの節の仕事である。

微視的な場を平均する

真空中の微視的な Maxwell 方程式は、すべての電荷（電子と原子核）の電荷密度 $\rho_{\mathrm{mic}}$ と電流密度 $\bm{J}_{\mathrm{mic}}$ を源に持つ：

$$\nabla\cdot\bm{e}=\frac{\rho_{\mathrm{mic}}}{\varepsilon_0},\qquad \nabla\cdot\bm{b}=0,\qquad \nabla\times\bm{e}=-\frac{\partial \bm{b}}{\partial t},\qquad \nabla\times\bm{b}=\mu_0\bm{J}_{\mathrm{mic}}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial \bm{e}}{\partial t}.\tag{10.1}$$

ここで小文字の $\bm{e}$, $\bm{b}$ は、原子の大きさ $a\sim10^{-10}\,\mathrm m$ の桁で激しく変わる微視的な場である。光の波長 $\lambda$ は可視光で $5\times10^{-7}\,\mathrm m$ の桁なので、$a\ll\ell\ll\lambda$ を満たす長さ $\ell$ を選べる。各点 $\bm{r}$ のまわりの大きさ $\ell$ の領域で場を平均したものを巨視的な場 $\bm{E}=\langle \bm{e} \rangle$, $\bm{B}=\langle \bm{b} \rangle$ と定義する（図 10.1）。平均は空間の微分と交換するので、式 (10.1) は $\bm{E}$, $\bm{B}$ と平均した源 $\langle \rho_{\mathrm{mic}} \rangle$, $\langle \bm{J}_{\mathrm{mic}} \rangle$ の間の同じ形の方程式になる。

平均した電荷密度を、原子（分子）に束縛された電荷と、媒質の中を自由に動ける電荷に分ける。原子 $j$ の重心を $\bm{R}_j$、その原子に属する電荷 $q_{js}$ の重心からの位置を $\bm{s}_{js}$ とし、原子が中性（$\sum_sq_{js}=0$）であるとする。束縛された電荷の電荷密度を $\bm{s}_{js}$ について Taylor 展開すると

$$\sum_{j,s}q_{js}\,\delta^{(3)}(\bm{r}-\bm{R}_j-\bm{s}_{js}) =\sum_jq_j^{\mathrm{tot}}\delta^{(3)}(\bm{r}-\bm{R}_j)-\nabla\cdot\sum_j\bm{d}_j\,\delta^{(3)}(\bm{r}-\bm{R}_j)+\cdots, \qquad \bm{d}_j=\sum_sq_{js}\bm{s}_{js}\tag{10.2}$$

となる。第1項は原子が中性なので $0$、第2項の $\bm{d}_j$ は原子 $j$ の電気双極子モーメントで、省いた項は電気四重極以上である。これを大きさ $\ell$ の領域で平均すると、$\sum_j\bm{d}_j\delta^{(3)}(\bm{r}-\bm{R}_j)$ の平均は単位体積あたりの双極子モーメント、つまり分極

$$\bm{P}(\bm{r},t)=N\langle \bm{d} \rangle\tag{10.3}$$

になる（$N$ は原子の数密度、$\langle \bm{d} \rangle$ は領域の中の双極子の平均）。束縛された電荷の平均の密度は $-\nabla\cdot\bm{P}$ と書け、これを束縛電荷（分極電荷）と呼ぶ。電荷の保存から、束縛電荷の時間変化には電流 $\partial_t\bm{P}$ が対応する（$\partial_t(-\nabla\cdot\bm{P})+\nabla\cdot\partial_t\bm{P}=0$）。これを分極電流と呼ぶ。原子の中の電荷の回転運動は磁化 $\bm{M}$ を作り、その電流は $\nabla\times\bm{M}$ になる。自由に動ける電荷の密度と電流を $\rho_{\mathrm f}$, $\bm{J}_{\mathrm f}$ と書けば

$$\langle \rho_{\mathrm{mic}} \rangle =\rho_{\mathrm f}-\nabla\cdot\bm{P},\qquad \langle \bm{J}_{\mathrm{mic}} \rangle =\bm{J}_{\mathrm f}+\frac{\partial \bm{P}}{\partial t}+\nabla\times\bm{M}\tag{10.4}$$

である。

物質中の Maxwell 方程式

式 (10.4) を平均した Maxwell 方程式に入れ、電束密度 $\bm{D}=\varepsilon_0\bm{E}+\bm{P}$ と磁場 $\bm{H}=\bm{B}/\mu_0-\bm{M}$ を定義すると

$$\nabla\cdot\bm{D}=\rho_{\mathrm f},\qquad \nabla\cdot\bm{B}=0,\qquad \nabla\times\bm{E}=-\frac{\partial \bm{B}}{\partial t},\qquad \nabla\times\bm{H}=\bm{J}_{\mathrm f}+\frac{\partial \bm{D}}{\partial t}\tag{10.5}$$

を得る。これが物質中の Maxwell 方程式である。束縛電荷と分極電流は $\bm{D}$ の中に、磁化の電流は $\bm{H}$ の中に吸収された。式 (10.5) は6つの未知の場（$\bm{E},\bm{B},\bm{D},\bm{H}$ のうち独立な組）に対して方程式が足りず、$\bm{P}$ と $\bm{E}$、$\bm{M}$ と $\bm{B}$、$\bm{J}_{\mathrm f}$ と $\bm{E}$ の関係（構成方程式）を与えて初めて閉じる。構成方程式が物質のモデルそのものであり、次の節でその一般的な形を述べる。

光の周波数では磁化の応答はほとんど追いつかないので、この巻では $\bm{M}=0$（$\bm{B}=\mu_0\bm{H}$）と置く。この近似の根拠は 10.5節で述べる。