授業で習った形との対応

光学と量子エレクトロニクス　第10章 §10.6　★★ 学部の電磁気・光学の授業の「複素誘電率 $\varepsilon=\varepsilon_1-\mathrm j\varepsilon_2$」「損失正接」「複素波数」は、この章の $\varepsilon_{\mathrm r}$・$\tilde n$ と、時間の符号の流儀の違いを除いて同じ

物質中の Maxwell 方程式の扱い

学部の電磁気学の授業は、多くの場合、物質中の Maxwell 方程式 (10.5) を出発点に置き、構成方程式を $\bm{D}=\varepsilon\bm{E}$, $\bm{B}=\mu\bm{H}$, $\bm{J}=\sigma\bm{E}$ と実数の定数で与える。この章の式 (10.6) は、その $\varepsilon$ を「時間の遅れを持つ応答」に置き換えたもので、単色の場に限れば $\varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm r}(\omega)$ と複素数の定数に戻る。授業で $\varepsilon$ を実数としてよいのは、考える周波数で $\varepsilon_2$ が無視できる（吸収が無い）ときである。

導体中の電磁波の扱いでは、授業は $\nabla\times\bm{H}=\sigma\bm{E}+\varepsilon\partial_t\bm{E}$ から「複素誘電率 $\varepsilon+\mathrm{i}\sigma/\omega$」を作り、良導体の極限 $\sigma\gg\varepsilon\omega$ で表皮深さ$\delta=\sqrt{2/(\mu\sigma\omega)}$ を出す。これは式 (10.11) と例題 10.3 の (3) そのものである。

時間の符号の流儀

電気工学と多くの電磁気の教科書は、時間変化を $\mathrm{e}^{+\mathrm j\omega t}$（$\mathrm j$ は虚数単位）で書く。この本は量子力学に合わせて $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}$ で書く（記法の正本 §1）。物理量はどちらでも実部を取るので同じだが、複素数の量は複素共役の関係になる。表 10.1 に対応をまとめる。

どちらの流儀でも $\varepsilon_2$ と $\kappa$ そのものは正の実数で、意味（散逸と減衰）は同じである。符号が逆に見えるのは虚数単位の前の符号だけである。光学の教科書の中にも $\tilde n=n-\mathrm{i}\kappa$ と書くものがあり、それは $\mathrm{e}^{+\mathrm{i}\omega t}$ の流儀を使っている。式を他の教科書から持ってくるときは、時間の符号を先に確かめる。

誘電体の損失を表す損失正接 $\tan\delta=\varepsilon_2/\varepsilon_1$ は、高周波の回路や誘電体の分野で使う量である（$\delta$ は角度で、表皮深さとは別の量）。弱い吸収の式 (10.19) から$\kappa\approx\frac12n\tan\delta$ である。授業で「複素波数 $k=\beta-\mathrm j\alpha$」と書くときの $\alpha$ は振幅の減衰定数で、この章の言葉では $\kappa\omega/c=\alpha_{\mathrm{abs}}/2$ にあたる。